§44 Lebesgue积分与 Riemann积分 教学目的本节讨论直线上的 Riemann积分(包括广义 Riemann积分) 与 Lebesgue积分之间的关系同时给出 Riemann可积函数的一个判别条件 本节要点用测度理论可以给出函数 Riemann可积的一个简明的充要条 件.本节的主要结果表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广.利用 Lebesgue积分的性质,可以解决一些 Riemann积分的问题 Riemann积分的回顾设[a,b是直线上的一个有界闭区间.一个有限序列 P={x0,x1…,xk}称为是[a,b的一个分割,若a=x0<x1<…<xk=b.设P和Q是 a,b]的两个分割如果PcQ,则称Q是P的一个加细 设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数,P={x1}=0是[a,b]的一个分割.对每个 1,…,k,令 m,=infff(x):xE[x,x 1, M=supff(x) xE[x,xl ∫关于分割P的 Darboux下和与 Darboux上和分别定义为 s(,P)=∑m(x-x),S(,P)=∑M,(x1-x) s(,P)和S(f,P)的几何意义分别是曲线y=f(x)的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形 与外接阶梯形面积(见引言的插图).显然对[a,b]的任意一个分割P,总有 s(f,P)≤S(f,P).又容易验证以下实事 (1)若P和P2是[a,b]的两个分割,并且P2是P1的加细,则有 s(f,B1)≤s(∫,P2),S(,P2)≤S(,P) 2)对[a,b]的任意两个分割P和P2,总有 s(f,B)≤S(f,P2) 因此当P取遍[a,b]的所有分割时,f的下和s(f,P)的全体所成的数集上有界,上和 S(∫,P)的全体所成的数集下有界令 ()=sup{S(,P):P是[a,b]的分割}, I()=inf{S(/,P):P是[a,b]的分割}106 §4.4 Lebesgue 积分与 Riemann 积分 教学目的 本节讨论直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分) 与 Lebesgue 积分之间的关系.同时给出 Riemann 可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数 Riemann 可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广. 利用 Lebesgue 积分的性质, 可以解决一些 Riemann 积分的问题. Riemann 积分的回顾 设 [a,b] 是直线上的一个有界闭区间 . 一个有限序列 { , , , } 0 1 k P = x x " x 称为是[a,b]的一个分割, 若 . a = x0 < x1 < " < xk = b 设 P 和 Q 是 [a,b]的两个分割. 如果 P ⊂ Q, 则称Q 是 P 的一个加细. 设 f 是定义在 [a,b] 上的有界实值函数, k i i P x 0 { } = = 是[a,b] 的一个分割. 对每个 i = 1,", k, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i i i 1 i m f x x x x M f x x x x = ∈ − = ∈ − f 关于分割 P 的 Darboux 下和与 Darboux 上和分别定义为 ( , ) ( ), ( , ) ( ). 1 1 1 ∑ 1 ∑= − = = − − = − k i i i i k i i i i s f P m x x S f P M x x s( f , P) 和 S( f , P) 的几何意义分别是曲线 y = f (x) 的下方图形(曲边梯形)的内接阶梯形 与外接阶梯形面积 ( 见引言的插图 ). 显然对 [a,b] 的任意一个分割 P , 总 有 s( f , P) ≤ S( f , P). 又容易验证以下实事: (1) .若 P1 和 P2 是[a,b]的两个分割, 并且 P2 是 P1 的加细, 则有 ( , ) ( , ), 1 P2 s f P ≤ s f ( , ) ( , ). 2 P1 S f P ≤ S f (2).对[a,b]的任意两个分割 P1 和 P2 ,总有 ( , ) ( , ). 1 P2 s f P ≤ S f 因此当 P 取遍 [a,b] 的所有分割时, f 的下和 s( f , P) 的全体所成的数集上有界, 上和 S( f , P) 的全体所成的数集下有界.令 I( f ) = sup{s( f , P) : P是[a,b] 的分割}, I( f ) = inf{S( f , P) : P是[a,b] 的分割}