分别称和为∫的下积分和上积分.如果=I,则称∫在[a,b上是 Riemann可积 的,并且称L和的公共值为∫在[a,b]上的 Riemann积分(简称为R积分).为避免与 Lebesgue积分混淆,下面将∫在[a,b上的 Riemann积分和 Lebesgue积分分别暂记为 (R)和(L) 引理1设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数.则以下三项是等价的 (i).f在[a,6上是 Riemann可积的 (i)对任意E>0,存在[a,b的一个分割P,使得 S(∫,P)-s(f,P) (i).存在[a,b]的一列分割{Pn},使得 lim(S(,P)-S(,P)=0. 证明(i)→(i)设∫在[a,b]上是 Riemann可积的记/=(R)ax.则对任意 E>0,存在[a,b]的两个分割P和P2使得 -s(f,P)<,S(f,P2) E 令P=P∪P2则P是P和P2的加细.于是我们有 S(f,P)-s(,P)≤S(f,P2)-s(f,B)≤(S(,P2)-1)+(-s(,P)<E (i)→(i).显然 (i)→().设P是[a,b]的一列分割使得 im(S(,P)-s(,P)=0. 对任意E>0,取no使得S(f,P)-S(,P)<E.于是 -I≤S(f,P)-s(f,P)<E 由于E>0是任意的故必有I=即∫在[a,6上是 Riemann可积的 Riemann可积的充要条件与两种积分的关系 定理2设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数则 ().f在[a,b]上 Riemann可积的充要条件是∫在[a,b]上几乎处处连续(即∫的不连 续点的全体是一个 Lebesgue零测度集 (i).若∫是 Riemann可积的,则∫是 Lebesgue可积的,并且两种积分相等,即 (R)f=(L)「ax107 分别称 I 和 I 为 f 的下积分和上积分. 如果 I = I, 则称 f 在[a,b]上是 Riemann 可积 的, 并且称 I 和 I 的公共值为 f 在[a,b]上的 Riemann 积分(简称为 R 积分). 为避免与 Lebesgue 积分混淆, 下面将 f 在[a,b]上的 Riemann 积分和 Lebesgue 积分分别暂记为 (R) b a fdx ∫ 和(L) . b a fdx ∫ 引理 1 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则以下三项是等价的; (i). f 在[a,b]上是 Riemann 可积的 (ii).对任意ε > 0, 存在[a,b]的一个分割 P , 使得 S( f , P) − s( f , P) < ε. (iii).存在[a,b]的一列分割{ }, Pn 使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 证明 (i) ⇒ (ii). 设 f 在[a,b] 上是 Riemann 可积的.记 I = (R) . b a fdx ∫ 则对任意 ε > 0, 存在[a,b]的两个分割 P1 和 P2 使得 , 2 ( , )1 ε I − s f P < . 2 ( , ) 2 ε S f P − I < 令 . P = P1 ∪ P2 则 P 是 P1 和 P2 的加细. 于是我们有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ) ( ( , )) . 2 1 2 1 S f P − s f P ≤ S f P − s f P ≤ S f P − I + I − s f P < ε (ii) ⇒ (iii).显然 (iii) ⇒ (i).设 Pn 是[a,b]的一列分割,使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 对任意ε > 0, 取n0 使得 ( , ) ( , ) . 0 0 − < ε n Pn S f P s f 于是 − ≤ ( , ) − ( , ) < ε 0 0 n Pn I I S f P s f . 由于ε > 0是任意的,故必有 I = I.即 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的.■ Riemann 可积的充要条件与两种积分的关系 定理 2 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数. 则 (i). f 在[a,b]上Riemann可积的充要条件是 f 在[a,b]上几乎处处连续(即 f 的不连 续点的全体是一个 Lebesgue 零测度集). (ii).若 f 是 Riemann 可积的, 则 f 是 Lebesgue 可积的, 并且两种积分相等, 即 (R) b a ∫ fdx = (L) . b a fdx ∫