证明设∫在[a,b]上是 Riemann可积的.由引理1知存在[a,b]的一列分割 Pn={x0,…xk.}(n≥1)使得 lim(S, P)-s(, P)=0 我们可适当选取上面的分割序列{P},使得P+1是P的加细.对每个自然数n≥1,令 m)=infff():xE[x,x 1i sup{f(x):x∈[x1-1,xl}.i=1,…,k 再对每个自然数n≥1,令 gn=f(a)+∑m”lx1,h,=f(a)+∑M"xx1 则{gn}和{n}都是简单函数列,并且{gn}单调增加,仂n}单调减少.而且满足 8n≤∫≤hn,n≥1.再令g=lm3n,h=limb由于∫是有界的,故g和h都是有界可 测函数,并且成立 g(x)≤∫(x)≤h(x),x∈[a,b] (1) 由控制收敛定理和gn与hn的定义,我们有 (l) gdx=lim(L)g, dx=lim s(, P), (L) hdx=lim(L) h, dx= lim S(, P) 由于lim(S(,P)-s(J,P)=0,结合(2)与(3)得到 (L)(h-g)dx=0 注意到g≤h,由§42定理7和上式得到g=hae.因此若令A={g≠l},则m(A)=0 再设B是所有分割P的分点的全体则B是可数集.因此m(A∪B)=0.容易知道当 xgA∪B时,∫在x连续.因此∫在[a,b上几乎处处连续.故(i)的必要性得证.由于 g=hae.,结合(1)知道∫=gae.故∫是L可测的.又由于∫在[a,b]上是有界的,因 此∫在[a,b]上是 Lebesgue可积的.又由于当n→>∞时, 0≤(R)ax-s(,P)≤S(f,P)-s(,P)→0 因此lims(,P)=(R)J再结合(2)我们有 (1)=(1)g=!m(P)=(R)J厂 故(i)得证108 证明 设 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 由引理 1 知存在[a,b]的一列分割 { , }( 1) P = x0 x n ≥ n n " k 使得 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 我们可适当选取上面的分割序列{ } Pn , 使得 Pn+1 是 Pn 的加细. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, 1 ( ) i i n i m f x x x x = ∈ − sup{ ( ) : [ , ]}. 1 ( ) i i n i M f x x x x = ∈ − 1, , . n i = " k 再对每个自然数 n ≥ 1, 令 ( ) , ( ) . 1 ( , ] ( ) 1 ( , ] ( ) ∑ 1 ∑ 1 = = − − = + = + n i i n i i k i x x n n i k i x x n n i g f a m I h f a M I 则 { } gn 和 { } hn 都是简单函数列 , 并 且 { } gn 单调增加 , { } hn 单调减少 . 而且满足 g ≤ f ≤ h , n ≥ 1. n n 再令 lim , lim . n n n n g g h h →∞ →∞ = = 由于 f 是有界的, 故 g 和 h 都是有界可 测函数, 并且成立 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), x ∈[a,b]. (1) 由控制收敛定理和 gn 与 hn 的定义, 我们有 (L) lim(L) lim ( , ), b b n n a a n n gdx g dx s f P →∞ ←∞ ∫ ∫ = = (2) (L) lim(L) lim ( , ). b b n n a a n n hdx h dx S f P →∞ ←∞ ∫ ∫ = = (3) 由于 lim( ( , ) − ( , )) = 0, →∞ n n n S f P s f P 结合(2)与(3)得到 (L) ( ) 0. b a ∫ h g dx − = 注意到 g ≤ h, 由§4.2 定理 7 和上式得到 g = h a.e.. 因此若令 A = {g ≠ h}, 则 m(A) = 0. 再设 B 是所有分割 Pn 的分点的全体. 则 B 是可数集. 因此 m(A∪ B) = 0. 容易知道当 x ∉ A ∪ B 时, f 在 x 连续. 因此 f 在[a,b]上几乎处处连续. 故 (i) 的必要性得证. 由于 g = h a.e., 结合(1) 知道 f = g a.e.. 故 f 是 L 可测的. 又由于 f 在[a,b]上是有界的, 因 此 f 在[a,b]上是 Lebesgue 可积的. 又由于当n → ∞ 时, 0 (R) ( , ) ( , ) ( , ) 0. b n nn a ≤ −≤ −→ fdx s f P S f P s f P ∫ 因此 lim ( , ) (R) . b n n a s f P fdx →∞ = ∫ 再结合(2)我们有 (L) (L) lim ( , ) (R) . bb b n aa a n fdx gdx s f P fdx →∞ ∫∫ ∫ == = 故(ii) 得证