往证()的充分性.设∫在[a,b上几乎处处连续又设{Pn}是[a,b]的一列分割,其 中{P}把[a,b]分成2”个等长的小区间.按前述方式定义函数g和h显然当x是∫的连 续点时,g(x)=f(x)=h(x).因此g=hae.由(2)与(3)得到 lim(so P)-s(, P))=0 由引理1知道∫在[a,b]上是 Riemann可积的.故(i)的充分性得证■ 定理2给出了函数∫在[a,b]上 Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广,并且 Lebesgue积分的可积函数类比 Riemann积分的 可积函数类大在§41中我们曾指出[0,1上的 Dirichlet函数D(x)是L可积的.但由于 D(x)在[0,1上处处不连续,由定理2知道D(x)不是 Riemann可积的.这个例子表明 Lebesgue积分的可积函数类严格地大于 Riemann积分的可积函数类 广义 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系下面仅以无穷区间[a,+∞)的广义 Riemann积分为例.对其他无穷区间上的广义 Riemann积分和无界函数的广义 Riemann积分 也有类似的结果 定理3设∫是定义在[a,+∞)上的实值函数,并且对任意b>a,∫在[a,b]上是有界 的几乎处处连续的则有 R)厂tk=UJdk 因此∫在[a+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R)绝对收敛并 且当(R)ax绝对收敛时,成立 证明由定理2知道对任意b>a,∫在[a,b]上是 Riemann可积的对每个n≥a,令 令f=几1n则团个/由于每个是L可测的,因此∫是L可测的由单调收敛定理 和定理2,我们有 (L)=m()∫。L=m)d =lm(R)∫=(R)广 故(4)成立.因此∫在[a,+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R) 对收敛.当(R)a绝对收敛时,在[a,+∞)上是 Lebesgue可积的,由于/ls 并且∫n→∫处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有109 往证 (i) 的充分性. 设 f 在[a,b]上几乎处处连续. 又设{ } Pn 是[a,b]的一列分割, 其 中{ } Pn 把[a,b]分成 n 2 个等长的小区间. 按前述方式定义函数 g 和 h. 显然当 x 是 f 的连 续点时, g(x) = f (x) = h(x). 因此 g = h a.e.. 由(2)与(3)得到 lim( ( , ) − ( , )) = 0 →∞ n n n S f P s f P 由引理 1 知道 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 故(i) 的充分性得证.■ 定理2给出了函数 f 在[a,b]上Riemann可积的一个简单明了的判别条件, 同时也表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广, 并且 Lebesgue 积分的可积函数类比 Riemann 积分的 可积函数类大. 在§4.1 中我们曾指出[0,1]上的 Dirichlet 函数 D(x) 是 L 可积的. 但由于 D(x) 在[0,1] 上处处不连续, 由定理 2 知道 D(x) 不是 Riemann 可积的. 这个例子表明 Lebesgue 积分的可积函数类严格地大于 Riemann 积分的可积函数类. 广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 下面仅以无穷区间[a,+ ∞) 的广义 Riemann 积分为例. 对其他无穷区间上的广义Riemann 积分和无界函数的广义Riemann 积分 也有类似的结果. 定理3 设 f 是定义在[a, + ∞) 上的实值函数, 并且对任意b > a, f 在[a,b]上是有界 的几乎处处连续的. 则有 (R) (L) . a a f dx f dx +∞ +∞ ∫ ∫ = (4) 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛. 并 且当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, 成立 (R) (L) . a a fdx fdx +∞ +∞ ∫ = ∫ 证明 由定理 2 知道对任意b > a, f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 对每个n ≥ a, 令 令 . n [a, n] f = fI 则 f f . n ↑ 由于每个 n f 是L可测的, 因此 f 是L可测的. 由单调收敛定理 和定理 2, 我们有 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n aaa n n n n a a f dx f dx f dx f dx f dx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ = = = = ∫∫∫ ∫ ∫ (5) 故(4)成立. 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分(R) a fdx +∞ ∫ 绝 对收敛.. 当(R) a fdx +∞ ∫ 绝对收敛时, f 在[a, + ∞) 上是 Lebesgue 可积的. 由于 f f n ≤ 并且 f f n → 处处成立, 由控制收敛定理和定理 2, 我们有