1)。=m()。=m(1 lim(r) fax=(r) fa 定理证毕■ 定理2和定理3表明,若∫在[an,b]上 Riemann可积,或者∫在有界或无界区间上的广 义 Riemann积分绝对收敛,则∫是 Lebesgue可积的并且这两种积分值相等.在这种情况下, 此时∫的 Riemann积分可视为 Lebesgue积分,因而可以应用 Lebesgue积分的性质例如极限 定理等 定理2和定理3也表明,若∫在某区间上同时是(正常或者广义)R可积和L可积的,则 这两种积分值相等.因此以后∫在区间上的R积分和L积分都用 J∫ 和ahx等表 示,不会发生混淆 例1设∫(x)=一在数学分析课程中熟知,∫在[0,+∞)上的广义 Riemann积分 是收敛的但不是绝对收敛的.由定理3,∫在[0,+∞)上不是L可积的 例2证明lim dx 证明令 nsin x fn(x(1+x)xn≥1 g(x)= 则lgm21.由于广义 Riemann积分厂,gd收敛由定理3知道g在+)上是 L可积的因此每个f是L可积的由定理3.。f,d可以视为 Lebesgue积分由于 ∫n 1*x2,(n→∞).利用控制收敛定理得到 nsin (1+x2) dx=Jo dx 例3证田11,1 证明由泰勒级数知道110 (L) lim(L) lim(L) lim (R) (R) . n n aa a n n n n a a fdx f dx fdx fdx fdx +∞ +∞ →∞ →∞ +∞ ←∞∞ = = = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ (6) 定理证毕.■ 定理 2 和定理 3 表明, 若 f 在[a,b]上 Riemann 可积, 或者 f 在有界或无界区间上的广 义 Riemann 积分绝对收敛, 则 f 是 Lebesgue 可积的并且这两种积分值相等. 在这种情况下, 此时 f 的 Riemann 积分可视为 Lebesgue 积分, 因而可以应用 Lebesgue 积分的性质例如极限 定理等. 定理 2 和定理 3 也表明, 若 f 在某区间上同时是(正常或者广义)R 可积和 L 可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后 f 在区间上的 R 积分和 L 积分都用 b a fdx ∫ 和 a fdx +∞ ∫ 等表 示, 不会发生混淆. 例 1 设 . sin ( ) x x f x = 在数学分析课程中熟知, f 在[0,+ ∞) 上的广义 Riemann 积分 是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理 3, f 在[0,+ ∞) 上不是 L 可积的. 例 2 证明 2 0 sin lim . n (1 ) 2 x n n dx x x +∞ π →∞ = + ∫ 证明 令 , (1 ) sin ( ) 2 x x n x n f x n + = n ≥ 1. . 1 1 ( ) 2 x g x + = 则 f ≤ g, n ≥ 1. n 由于广义 Riemann 积分 0 gdx +∞ ∫ 收敛. 由定理 3 知道 g 在[0,+ ∞) 上是 L 可积的. 因此每个 n f 是 L 可积的. 由定理 3, 0 nf dx +∞ ∫ 可以视为 Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → (n → ∞). 利用控制收敛定理得到 2 2 0 0 0 sin 1 lim arctg . n (1 ) 1 2 x n n dx dx x xx x +∞ +∞ +∞ π →∞ = == + + ∫ ∫ 例 3 证明 1 2 0 1 11 1 ln . 1 n dx x x n ∞ = = ∫ − ∑ 证明 由泰勒级数知道