第五章微分中值定理及其应用 习题5.1微分中值定理 1.设∫(x)>0,∫(x)<0,证明x是f(x)的极小值点 证由f(x)>0,可知当δ>0足够小时,若0<x-x<,则 1(x)-/)>0,于是(x)-(x)>0;同理,由(x)<0,可知当δ>0 足够小时,若-6<x-x0<0,则(x)-/(x x-b<0,于是也有 f(x)-f(x)>0。从而命题得证 2.( Darboux定理)设f(x)在(a,b)上可导,x,x2∈(a,b)。如果 f(x)f'(x2)<0,证明在x和x2之间至少存在一点ξ,使得∫()=0。 证显然x≠x2,不妨设x<x2。若f(x)>0,则∫(x2)<0,仿照习题 可证存在x<x3<x<x2,使得f(x)<f(x),f(x2)<f(x),从而x,x2都 不是f(x)的最大值点,于是f(x)在[x,x2]的最大值点ξ∈(x,x2),并且 成立∫()=0。若f(x)<0,则f(x)>0,同样可证f(x)在[x,x]的最 小值点ξ∈(x,x),并且成立f(2)=0。 3.举例说明 Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时,定理结 论就有可能不成立。 解[-1,上的符号函数sgn(x)在x=0不连续,所以 Lagrange中值定理 的条件不满足。而0-/(-D=1,不存在∈(-1)r15)=1。 1-(-1) [-1,上的绝对值函数x|连续,但在x=0不可微,所以 Lagrange中值第五章 微分中值定理及其应用 习 题 5.1 微分中值定理 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f x( )的极小值点。 证 由 f x + ′( ) 0 > 0 ，可知当 δ > 0 足够小时，若 0 < x − x0 < δ ， 则 0 0 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − ，于是 f x( ) − f x( 0 ) > 0；同理，由 f x − ′( ) 0 < 0，可知当δ > 0 足够小时，若 − δ < x − x0 < 0 ， 则 0 ( ) ( ) 0 0 < − − x x f x f x ，于是也有 f x( ) − f x( 0 ) > 0。从而命题得证。 2．（Darboux 定理）设 f x( )在( , a b)上可导， x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0，证明在 x1和 x2 之间至少存在一点ξ，使得 f ′( ) ξ = 0。 证 显然 1 2 x ≠ x ，不妨设 1 2 x < x 。若 1 f x ′( ) > 0，则 2 f x ′( ) < 0，仿照习题 1 可证存在 1 3 4 2 x < < x x < x ，使得 1 3 f ( ) x f < (x )， 2 ( ) ( )4 f x f < x ，从而 1 2 x , x 都 不是 f (x)的最大值点，于是 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最大值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且 成立 f ′( ) ξ = 0。若 f x ′( )1 < 0，则 2 f x ′( ) > 0，同样可证 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最 小值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且成立 f ′( ) ξ = 0。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 [ 1− ,1]上的符号函数sgn(x) 在 x = 0不连续，所以 Lagrange 中值定理 的条件不满足。而 (1) ( 1) 1 1 ( 1) f f − − = − − ，不存在ξ ∈( 1− = ,1), f '(ξ ) 1。 [ 1− ,1]上的绝对值函数| x |连续，但在 x = 0不可微，所以 Lagrange 中值 96