定理的条件不满足。而Q)-(D=0,但v5e(-11≠0.r(5)=1≠0 (-1) 4.设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)上可微。利用辅助函数 (x)=a fo b f(b)1 证明 Lagrange中值定理,并说明v(x)的几何意义。 证显然v(a)=v(b)=0,并且满足 Rolle定理条件。由Role定理,在 (a,b)内存在一点ξ,使得 f() v(5)=af(a)1=f(b-a)-[f(b)-f(a)=0, b f(b) 所以 Lagrange中值定理成立。 几何意义:以(x,f(x),(a,f(a),(b,f(b)顶点的三角形如果顶点逆时 针排列,则v(x)就是三角形面积的两倍,否则-v(x)就是三角形面积 的两倍 5.设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存 在一点ξ,使得 f(a) f(b) f(a)f(5) =(b-a g(a)g(b) g(a) g(5) 证令F(x)= g()s(b)x-a)-(b-/(a)f(x),则F(a)=F(b)=0,由 f(af(b g(a)g(x) Rolle定理,在(a,b)内存在一点ξ,使得 F6)=/(a)f(b) f(a)f(I 0 g(a)g(b) gla)g(s) 6.设非线性函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)上定理的条件不满足。而 (1) ( 1) 0 1 ( 1) f f − − = − − ，但∀ξ ∈ −( 1,1), ξ ξ ≠ 0, f '( ) = ±1 ≠ 0。 4. 设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明ψ(x)的几何意义。 证 显然ψ ( ) a =ψ (b) = 0，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在 ( , a b)内存在一点ξ，使得 1 '( ) 0 '( ) ( ) 1 '( )( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 f a f a f b a f b f a b f b ξ ψ ξ ξ = = − − − = ， 所以 Lagrange 中值定理成立。 几何意义：以(x, f x( )),( , a f (a)),(b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时 针排列，则ψ (x)就是三角形面积的两倍，否则－ψ (x)就是三角形面积 的两倍。 5． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导, 证明( , a b)内存 在一点ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 证 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x x a b a g a g b f a f b F x = − − − ，则F(a) = F(b) = 0，由 Rolle 定理，在( , a b)内存在一点ξ，使得 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) = − − = ξ ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b F 。 6． 设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上 97