至少存在一点η,满足 f(n)|> ∫(b)-f(a) b 并说明它的几何意义。 证由于f(x)是非线性函数,所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 (,f()不在(an,f(a),(b,f(b)的连线上 假设(,f()在(a,f(a)(b,f(b)的连线的上方,则 f()-f(a)∫(b)-f(a)f(b)-f(5) b-a b-5 利用 Lagrange中值定理,存在5∈(a,,52∈(,b,使得 /E)>/(b-1(a)>/(4,) b 所以m川厂)>0)/1。当((4)在(a,(a)(b,(b)的 连线下方时同理可证 几何意义:在[a,b]上连续、在(a,b)上可导的非线性函数,必定在 某点切线斜率的绝对值大于[a,b间割线斜率的绝对值。 7.求极限lmn| arctan a- arctan-,,其中a≠0为常数 irctan--arctan 解由 Lagrange中值定理, n+1 nan 其中ξ位于 n+1 与之间。当n→时,趋于1,所以 arctan limn arctan a-arctan -a=lim na arctan a n n+1 n+1)m→an+1至少存在一点η，满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 证 由于 f x( )是非线性函数，所以在( , a b)内至少存在一点ξ ，使得 ( , ξ f (ξ ))不在( , a f (a)),(b, f (b))的连线上。 假设( , ξ f (ξ ))在( , a f (a)),(b, f (b))的连线的上方，则 f ( ) f ( ) a f (b) f ( ) a f (b) f ( ) a b a b ξ ξ ξ ξ −−− > > −−− ， 利用 Lagrange 中值定理，存在 1 2 ξ ∈( , a b ξ ξ ), ∈(ξ, ), 使得 1 2 ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a f f b a ξ ξ − > > − ， 所以 1 2 ( ) ( ) max{| '( ) |,| '( ) |} | | f b f a f f b a ξ ξ − > − 。当( , ξ f (ξ ))在 的 连线下方时同理可证。 ( , a f (a)),(b, f (b)) 几何意义：在[ , 上连续、在 上可导的非线性函数，必定在 某点切线斜率的绝对值大于[ , 间割线斜率的绝对值。 a b ] ( , a b) a b ] 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中a ≠ 0为常数。 解 由 Lagrange 中值定理， 2 arctan arctan 1 1 1 1 a a n n a a n n ξ − + = + − + ，其中ξ 位于 1 a n + 与 a n 之间。当n → ∞时， 2 1 1+ ξ 趋于1，所以 2 arctan arctan 1 lim arctan arctan lim 1 1 1 n n a a a a na n n n n n n a a n n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + − = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + − + 2 1 limn 1 1 na a →∞ n ξ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = 。 98