四、证明题(16分).设A为圆外一点,AP,AQ为圆的切线,第三条切线交 APAQ于E,F,且交切点弦PQ于H,第三条切线的切点为G.求证:(EF,GH)=-1 证法一如上左图,连结AG交PQ于B(2分)因为A为PQ的极点、(3分),G 为EF的极点、(3分),所以AG为H= PQ X EF的极线(3分).因此(PQ,BH)=-1(2 分),于是有A(PQ,BH)=(EF,GH)=-1(3分) 证法二如上右图,注意到三点形AEF外切于圆,据 Brianchon定理的极限 情况,有PF,QE,AG三线共点于B(6分).连结QG交PA于R(4分),考察完全四 点形AEBF立刻可得(EA,RP)=-1(3分).于是Q(EA,RP)=(EF,GH)=-1(3分 五、证明题(12分).设 ABC DEF是一条二次曲线的内接六点形,且 ABXCD P, CD X EF=Q, DE X AF=L, AF X BC= M, BC X DE= N, EF X AB=R. 求证:PL,MQ,RN共点 R 证明因为六点形 ABCDEF内接二次曲线,据 Pascal定理有 AB X DE=X,BC×EF=Y,DC×FA=Z, 三点共线(5分),即三点形PQR与LMN的对应边的交点共线(2分,据 Desargues 定理,其三双对应顶点的连线PL,MQ,RN必定共点、(5分)3 ✤ ✥✦✧★ (16 ✩). ✪ A ✫✬✭✮✯✰ AP, AQ ✫✬✱✲✳✰✴✵✶✲ ✳✷ AP, AQ ✸ E, F, ✹ ✷✲✯✺P Q ✸ H, ✴✵✶✲✳✱ ✲✯ ✫ G. ✻✼✽(EF, GH) = −1. ✾✿❀ ❁❂❃❄✰❅❆ AG ❇ P Q ❈ B(2 ❉). ❊❋ A ❋ P Q ●❍■ (3 ❉), G ❋ EF ●❍■ (3 ❉), ❏❑ AG ❋ H = P Q × EF ●❍▲ (3 ❉). ❊▼ (P Q, BH) = −1(2 ❉), ❈◆❖ A(P Q, BH) = (EF, GH) = −1(3 ❉). ✾✿P ❁❂◗❄✰❘❙❚❯■❱ AEF ❲❳❈❨✰❩ Brianchon ❬❭●❍❪ ❫❴✰❖ P F, QE, AG ❯▲❵■❈ B(6 ❉). ❅❆ QG ❇ P A ❈ R(4 ❉), ❛❜❝❞❡ ■❱ AEBF ❢❣❤✐ (EA, RP) = −1(3 ❉). ❈◆ Q(EA, RP) = (EF, GH) = −1(3 ❉). ❥ ✥✦✧★ (12 ✩). ✪ ABCDEF ❦ ✮ ✶❧♠ ♥✳ ✱♦♣q✯r ✰✹ AB×CD = P, CD × EF = Q, DE × AF = L, AF × BC = M, BC × DE = N, EF × AB = R. ✻✼✽ P L, MQ, RN s ✯ t ✾✉ ❊❋✈■❱ ABCDEF ✇ ①②③④▲ ✰❩ Pascal ❬❭❖ AB × DE = X, BC × EF = Y, DC × F A = Z, ❯■❵▲ (5 ❉), ⑤❯■❱ P QR ⑥ LMN ● ⑦⑧⑨●❇■❵▲ (2 ❉), ❩ Desargues ❬❭✰⑩❯❶⑦⑧❷■ ● ❅▲ P L, MQ, RN ❸❬❵■ (5 ❉)