第10期 孟庆波等：惯性特征系统最速特征模型PD控制参数辨识 .1367. 的数学模型，但在实际的设计过程中，参数的设置严 重依赖于领域工程师的工作经验和他们对控制对象 (00=i(0 的了解，其中就隐含了基于控制对象特征模型的 根据式(1)所示系统的单位阶跃响应输出采样 控制问题，PD控制之所以起作用，根本原因还是在 数据，可以得到一组线性方程组： 于它的控制符合了被控对象的特征，因此，对于高 Ψ0=T-△ (4) 阶惯性特征系统的控制，可以依据系统的传输特性 式中， 来确定低阶特征模型，然后再根据低阶特征模型通 r=[正正+1…后 过计算确定PD控制器参数， 对于高阶惯性特征系统，它的数学模型描述 A(T) A(Tin)A(T)1 Tr 如下： A(T+1)A(T+1)A(T+1)1T+1 Ψ G(可-h十h-1+…十h+h 4S十a-151+…十s十0 (1) LAo (Tt+x Ai (T+N)A (Tn+x 1 T+s 根据在输入同样的控制信号下，实际对象在输 e(TM+N)]'. 出上等价的特点，高阶惯性特征系统可以用低阶的 A-h[e(m)e(T)… 特征模型来描述.，一般而言，一阶惯性系统能够粗 上式表示辨识采用的数据是第M到M十N个采样 略地描述系统的传输特性，二阶惯性系统就能够比 数据，采用最小二乘法可以获得估计参数： 较准确地建立特征模型，因此，对系统的辨识，主要 6=(ΨΨ)-ΨT (5) 围绕着一阶和二阶惯性系统特征模型而展开的，假 对于式(2)所示一阶系统的辨识，可以仿照上 设系统的特征模型传递函数描述如下： 述方法进行，取 a奇(o 起十us十0 (2) A()=y()A()=JA(5) 那么，就可以利用原高阶系统的输入输出特性辨识 à()=w(),G()=Ja(5)ds 出特征模型的参数，下面以二阶特征模型为例来说 Ψ()=[A()A()] 明高阶系统的低阶化特征模型的辨识算法0-山 在初始状态为零的条件下，对系统加入单位阶 -[R剥'e(0-a(0a(0 跃响应(t)=1(),当y()中含有白噪声w(t)时， 则有Ψ(t)6=t一e(t) 若取： 根据原高阶系统单位阶跃响应的输出采样数据 A()=y(),A()=]() 进行辨识得到参数T、K 4()= 2系统二阶最速特征模型和PD参数的 辨识 B(0=1B(0=B(0一7 假定通过上述方法辨识出来的一阶特征模型如 6()=w().G()=J6()d 式(2)的G(s)所示，对于输出值为Kh的恒值控制， 当控制信号的约束条件为山（t)≤A时，记t= à()=Jà(s 若取控制律为 e()=G(D十aG()十aG() 对于式(2)中的二阶系统，则成立下列关系式： (t) aA（t)十ah(t)十ao(t)= h (护) 1 那么对一阶惯性系统的控制，暂态时间理论上最短， k+ht2hi-e(t) (3) 这是因为在起始阶段控制律的取值最大，上升时间 再令 也就最快，在时间之后，根据上述控制律对一阶 ()[A()A()()1 惯性系统的输出计算结果可知：系统就此停留在一 个固定的稳态值上，进入了稳态阶段，例如，取 0=[eaao一k一h]', 5 则式(3)可以表示为 G()20十A.=2h=16=13.8629s按照第 10期 孟庆波等： 惯性特征系统最速特征模型 ＰＩＤ控制参数辨识 的数学模型‚但在实际的设计过程中‚参数的设置严 重依赖于领域工程师的工作经验和他们对控制对象 的了解 ［9］‚其中就隐含了基于控制对象特征模型的 控制问题‚ＰＩＤ控制之所以起作用‚根本原因还是在 于它的控制符合了被控对象的特征．因此‚对于高 阶惯性特征系统的控制‚可以依据系统的传输特性 来确定低阶特征模型‚然后再根据低阶特征模型通 过计算确定 ＰＩＤ控制器参数． 对于高阶惯性特征系统‚它的数学模型描述 如下： Ｇ（ｓ）＝ ｂｍｓ ｍ ＋ｂｍ—1ｓ ｍ—1＋… ＋ｂ1ｓ＋ｂ0 ａｎｓ ｎ＋ａｎ—1ｓ ｎ—1＋… ＋ａ1ｓ＋ａ0 （1） 根据在输入同样的控制信号下‚实际对象在输 出上等价的特点‚高阶惯性特征系统可以用低阶的 特征模型来描述．一般而言‚一阶惯性系统能够粗 略地描述系统的传输特性‚二阶惯性系统就能够比 较准确地建立特征模型．因此‚对系统的辨识‚主要 围绕着一阶和二阶惯性系统特征模型而展开的．假 设系统的特征模型传递函数描述如下： Ｇ1（ｓ）＝ Ｋ Ｔｓ＋1 ‚Ｇ2（ｓ）＝ ｂ2ｓ 2＋ｂ1ｓ＋ｂ0 ａ2ｓ 2＋ａ1ｓ＋ａ0 （2） 那么‚就可以利用原高阶系统的输入输出特性辨识 出特征模型的参数．下面以二阶特征模型为例来说 明高阶系统的低阶化特征模型的辨识算法 ［10--11］． 在初始状态为零的条件下‚对系统加入单位阶 跃响应 ｒ（ｔ）＝1（ｔ）‚当 ｙ（ｔ）中含有白噪声 ｗ（ｔ）时‚ 若取： Ａ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）‚Ａ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ0（ξ）ｄζ‚ Ａ2（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ1（ξ）ｄζ； Ｂ0（ｔ）＝1‚Ｂ1（ｔ）＝ｔ‚Ｂ2（ｔ）＝ 1 2！ ｔ 2； δ0（ｔ）＝ｗ（ｔ）‚δ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ0（ξ）ｄξ‚ δ2（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ1（ξ）ｄξ； ε（ｔ）＝ａ2δ0（ｔ）＋ａ1δ1（ｔ）＋ａ0δ2（ｔ）． 对于式 （2）中的二阶系统‚则成立下列关系式： ａ2Ａ0（ｔ）＋ａ1Ａ1（ｔ）＋ａ0Ａ2（ｔ）＝ ｂ2＋ｂ1ｔ＋ 1 2 ｂ0ｔ 2—ε（ｔ） （3） 再令 ψ（ｔ）＝ 1 ｂ0 ［Ａ0（ｔ） Ａ1（ｔ） Ａ2（ｔ） 1 ｔ］‚ θ＝［ａ2 ａ1 ａ0 —ｂ2 —ｂ1 ］ Ｔ‚ 则式 （3）可以表示为 ψ（ｔ）θ＝ 1 2 ｔ 2— 1 ｂ0 ε（ｔ）‚ 根据式 （1）所示系统的单位阶跃响应输出采样 数据‚可以得到一组线性方程组： ψθ＝Γ—Δ （4） 式中‚ Γ＝ 1 2 ［Ｔ 2 Ｍ Ｔ 2 Ｍ＋1 … Ｔ 2 Ｍ＋Ｎ ］ Ｔ‚ ψ＝ Ａ0（ＴＭ ） Ａ1（ＴＭ ） Ａ1（ＴＭ ） 1 ＴＭ Ａ0（ＴＭ＋1） Ａ1（ＴＭ＋1） Ａ2（ＴＭ＋1） 1 ＴＭ＋1     Ａ0（ＴＭ＋Ｎ ） Ａ1（ＴＭ＋Ｎ ） Ａ2（ＴＭ＋Ｎ ） 1 ＴＭ＋Ｎ ‚ Δ＝ 1 ｂ0 ［ε（ＴＭ ） ε（ＴＭ＋1） … ε（ＴＭ＋Ｎ ） ］ Ｔ． 上式表示辨识采用的数据是第 Ｍ到 Ｍ＋Ｎ个采样 数据‚采用最小二乘法可以获得估计参数： θ＾＝（ψ Ｔψ） —1ψ ＴΓ （5） 对于式 （2）所示一阶系统的辨识‚可以仿照上 述方法进行‚取 Ａ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）‚Ａ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ0（ξ）ｄξ‚ δ0（ｔ）＝ｗ（ｔ）‚δ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ0（ξ）ｄξ‚ ψ（ｔ）＝［Ａ0（ｔ） Ａ1（ｔ） ］‚ θ＝ Ｔ Ｋ 1 Ｋ Ｔ ‚ε（ｔ）＝ Ｔ Ｋ δ0（ｔ）＋ 1 Ｋ δ1（ｔ）‚ 则有 ψ（ｔ）θ＝ｔ—ε（ｔ）． 根据原高阶系统单位阶跃响应的输出采样数据 进行辨识得到参数 Ｔ、Ｋ． 2 系统二阶最速特征模型和 ＰＩＤ参数的 辨识 假定通过上述方法辨识出来的一阶特征模型如 式 （2）的 Ｇ1（ｓ）所示‚对于输出值为 Ｋｈ的恒值控制‚ 当控制信号的约束条件为 ｕｃ （ｔ）≤Ａｍａｘ时‚记ｔ0＝ Ｔｌｎ Ａｍａｘ Ａｍａｘ—ｈ ‚若取控制律为 ｕｃ（ｔ）＝ Ａｍａｘ （ｔ＜ｔ0） ｈ （ｔ≥ｔ0） 那么对一阶惯性系统的控制‚暂态时间理论上最短． 这是因为在起始阶段控制律的取值最大‚上升时间 也就最快‚在时间 ｔ0 之后‚根据上述控制律对一阶 惯性系统的输出计算结果可知：系统就此停留在一 个固定的稳态值上‚进入了稳态阶段．例如‚取 Ｇ1（ｓ）＝ 5 20ｓ＋1 ‚Ａｍａｘ＝2‚ｈ＝1‚ｔ0 ＝13∙8629ｓ‚按照 ·1367·