-2uu I-2 u=h °H2=(I-2uu -2uu=L-)T_2uu+4uu'uu 定理2.对于任何非零列向量x∈R及任何单位列向量z∈R",存在 Householder矩阵H,使得Hx=xz 证明当x=xz时,选u满足ux=0,则H=(-2u1)x=x=xz 当x≠z时,选n=2M乙,有 -12=(x-x)(x-x) =XX+X ZZ X+X Z =2(x1x-2x)=2(x-x)x x一XZ(X-XZ Hx=I-2 x=x- 定理3.初等旋转矩阵( Givens矩阵)是两个初等反射矩阵的乘积。 证明参见p202,较容易。我们这里主要是给出一种几何解释。 (e1) 从表明上看,似乎一种反射变换即可代替旋转变换。实际上是不对的, 因为这样的反射变换对应的对称轴沿(e1+6/2)方向,与1有关( ) ( ) T T T T T T • = − = − = H I 2uu I 2 u u H ( )( ) 2 T T T T T T • = − − = − − + = H I 2uu I 2uu I 2uu 2uu 4uu uu I 定理 2. 对于任何非零列向量 n x R 及任何单位列向量 n z R ，存在 Householder 矩阵 H，使得 Hx x z = 。 [证明] 当 x x z = 时，选 u 满足 T u x 0 = ，则 ( ) T Hx I 2uu x x x z = − = = 当 x x z  时，选 x x z u x x z − = − ，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 T T T T T 2 T T T x x z x x z x x z x x x z z x z x x z 2 x x x z x 2 x x z x − = − − = + − + = − = − ( ) T x x z (x x z) Hx I 2 x x x x z x z x x z x x z   − − = −  = − − =     − −   定理 3. 初等旋转矩阵（Givens 矩阵）是两个初等反射矩阵的乘积。 证明参见 p202 ，较容易。我们这里主要是给出一种几何解释。 ( ) 1 1  e ( ) 2 2  e  1 从表明上看，似乎一种反射变换即可代替旋转变换。实际上是不对的， 因为这样的反射变换对应的对称轴沿 ( ) 1  + / 2 方向，与 1  有关