(51 平面直角坐标系中,将向量x=[512]关于e1轴作为交换,则得到 511「10‖1 I-2 =Hx 般地,可将其推广 1.定义:设单位列向量u∈R,称H=1-2u1为 Householder矩阵(初 等反射矩阵),由 Householder矩阵所确定的线性变换(y=Hx)成为 Householder变换 2.性质 (1)HT=H(实对称),H1=HT(正交),H2=I(对合),H1=H (自逆),detH 为证明第5条,可利用如下引理。 引理:设A∈R,B∈R",则det(m+AB)=det(n+BA) 证明|参考如下的分块矩阵 的行列式,用A左乘第一行块加 a I 到第二行块,然后用(-B)左乘第二行块加到第一行块,有 B B det OI ARA=det(Im +AB)=det/n+BA 0 det(In +Ba 故, det(H)=detI+(-2uu)=1+u1(-2u)=1-2=-1( ) 2 2  e ( ) 1 1  e ( ) 1 2  , ( ) 1 2  ,− 平面直角坐标系中，将向量 T 1 2 x =       关于 1 e 轴作为交换，则得到 ( ) 1 1 T 2 2 2 2 1 0 y I 2e e x Hx 0 1         = = = − =           −    − 一般地，可将其推广 1. 定义：设单位列向量 n u R ，称 T H I 2uu = − 为 Householder 矩阵（初 等反射矩阵），由 Householder 矩阵所确定的线性变换（ y Hx = ）成为 Householder 变换 2 . 性质 （1） T H H= （实对称）， 1 T H H − = （正交）， 2 H I = （对合）， 1 H H − = （自逆）， det H 1 = − 为证明第 5 条，可利用如下引理。 引理：设 m n n m A R ,B R     ，则 det I AB det I BA ( m n + = + ) ( ) [证明]：参考如下的分块矩阵 n m I B A I       − 的行列式，用 A 左乘第一行块加 到第二行块，然后用（-B）左乘第二行块加到第一行块，有 ( ) ( ) n n n m n m m m I B I B I BA 0 det det det I AB det det I BA A I 0 I BA A I       + = = + = = +       − + −       故， ( ) ( ) T T det H det I 2uu 1 u ( 2u) 1 2 1   = + − = + − = − = −  