直至可k=n。令T=TnTn-1T…T12,则有 +十 0 xe 31=0的情形,从第一个不为零的ξ;开始运用上述方法即可 推论:对于任何非零列向量x∈R"及任何单位列向量x(z=1),均存在 着有限个 Givens矩阵的乘积T,使Tx=xz 证明由上述定理,对x存在有限个Gcms矩阵T2,13,…,T的乘 积 )=mTmx1…Tm,使Tx=xe1 对z同理存在有限个 Givens矩阵T2),T3)…,T2)的乘积 (2)(2) n11n-1…113112, 使T(2z=zle XT (2) (2) (1) 即, (1)(1) In In-1 2 其中 (2)T(2) ln1…:1)= T(1) In In I1n-1 2) 2)r(1)r(1 In in-1 为有限个 Givens矩阵的乘积。 二 Householder矩阵与 Householder变换直至可 k=n。令 T T T T T = 1n 1n 1 12 − ，则有 T 2 2 2 Tx 0 0 0 x e 1 2 n 1   =  +  +  =     1  = 0 的情形, 从第一个不为零的 i  开始运用上述方法即可 推论：对于任何非零列向量 n x R 及任何单位列向量 z( z 1) = ，均存在 着有限个 Givens 矩阵的乘积 T，使 Tx x z = 。 [证明]：由上述定理，对 x 存在有限个 Givens 矩阵 (1) (1) (1) T ,T , ,T 12 13 1n 的乘 积 (1) (1) (1) (1) (1) T T T T T 1n 1n 1 13 12 − = ，使 (1) T x x e = 1 对 z 同理存在有限个 Givens 矩阵 (2) (2) (2) T ,T , ,T 12 13 1n 的乘积 (2) (2) (2) (2) (2) T T T T T 1n 1n 1 13 12 − = ，使 (2) T z z e e = =1 1 即， ( ) ( ) ( ) 1 (1) (2) (2) (2) (1) 1 (2) (2) (2) (1) (1) (1) 1n 1n 1 12 1n 1n 1 12 T x x T z T ( x z) T T x x z T T T T T T x x z − − − − = = → =  = 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 (2) (2) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (1) (1) 1n 1n 1 12 1n 1n 1 12 12 13 1n 1n 1n 1 12 T T T (2) (2) (2) (1) (1) (1) 12 13 1n 1n 1n 1 12 T T T T T T T T T T T T T T T T T T − − − − − − − − = = 为有限个 Givens 矩阵的乘积。 二 Householder 矩阵与 Householder 变换