§32 Hermitian算符的主要性质 1.算符的本征方程 定义:设F是一个算符,则 称为F的本征方程,λ称为本征值,v2称为F的属于A的本征函数,或本征态 可以证明:如果算符F是 Hermitian算符,那么在F的本征态下,力学量F的涨落为零,这里“涨 落”的定义是 (AF)=(F-F)2-V(F-F)2y 还可以证明:如果算符户是 Hermitian算符,那么当v是户的本征态的时候,δF/bv=0,其中F 是F在v上的平均值,Sv是v的变分(这意味着v是F的极大值点或者极小值点或者鞍点)。 关于本征值和本征函数的物理意义,量子力学的基本假设是:算符F的本征值集{4}就是力学量F 的测量值集:F的本征函数v2代表力学量F有确定值A的量子状态 2. Hermitian算符的本征值 定理: Hermitian算符的本征值都是实数 证明:本征方程是 Fya=ny 所以 (Fv2)=(v2) 在 Hermitian算符的定义式v(Fp)dr=[(Fv)中dr中让=p=v2,那么 ∫wx)(v2)dr=∫(Fwu)v2dr 也就是 可1v2dr=jv2dr, 所以 =.■ 定理的推论: Hermitian算符的平均值必是实数。 由于这个定理,我们要求所有的物理量(或称为“可观察量”)的算符都是 Hermitian算符。不难证 明:坐标算符和动量算符都是 Hermitian算符。以p3为例,其 Hermitian性证明如下。 这里用到了分部积分法则和v-=qp=0 在一定条件下,坐标算符和动量算符所构成的函数也是 Hermitian算符。事实上,如果F和G都是 Hermitian算符而且FG=GF,那么FG也是 Hermitian算符。因此,角动量算符是 Hermitian算符。 定理的逆定理也是成立的,即,全体本征值都为实数的算符必是 Hermitian算符。但是,并不是所 有的 Hermitian算符都一定代表可观察量。 3.本征函数系的正交性 定义:若两个函数v1和v2满足 vivid=0 则称它们是正交的 正交性定理:同一个 Hermitian算符的属于不同本征值的本征函数必是彼此正交的1 §3.2 Hermitian 算符的主要性质 1. 算符的本征方程 定义：设 F ˆ 是一个算符，则 F  =   ˆ 称为 F ˆ 的本征方程，  称为本征值，  称为 F ˆ 的属于  的本征函数，或本征态。 可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么在 F ˆ 的本征态下，力学量 F 的涨落为零，这里“涨 落”的定义是 2 2 2 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) . F F F F F d       − = −  还可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么当  是 F ˆ 的本征态的时候， F / 0    = ，其中 F 是 F ˆ 在  上的平均值，  是  的变分（这意味着  是 F 的极大值点或者极小值点或者鞍点）。 关于本征值和本征函数的物理意义，量子力学的基本假设是：算符 F ˆ 的本征值集 {} 就是力学量 F 的测量值集； F ˆ 的本征函数   代表力学量 F 有确定值  的量子状态。 2．Hermitian 算符的本征值 定理：Hermitian 算符的本征值都是实数。 证明：本征方程是 F  =   ˆ , 所以    ) = ( ) ˆ (F     , 在 Hermitian 算符的定义式 ˆ ˆ       ( ) ( ) F d F d   =   中让  =  =  ，那么 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) , F d F d             =   也就是       =     d  d 2 2 | | | | , 而 | | 0 2      d , 所以   =  . ▌ 定理的推论：Hermitian 算符的平均值必是实数。 由于这个定理，我们要求所有的物理量（或称为“可观察量”）的算符都是 Hermitian 算符。不难证 明：坐标算符和动量算符都是 Hermitian 算符。以 ˆ x p 为例，其 Hermitian 性证明如下。 ( ) i i ( ) i ( ) . ˆ ˆ x x p dx dx dx p dx x x            + + + + +     − − − − −   = − = − + =       ▌ 这里用到了分部积分法则和   0   = = 。 在一定条件下，坐标算符和动量算符所构成的函数也是 Hermitian 算符。事实上，如果 F ˆ 和 G ˆ 都是 Hermitian 算符而且 FG GF ˆ ˆ = ˆ ˆ ，那么 FG ˆ ˆ 也是 Hermitian 算符。因此，角动量算符是 Hermitian 算符。 定理的逆定理也是成立的，即，全体本征值都为实数的算符必是 Hermitian 算符。但是，并不是所 有的 Hermitian 算符都一定代表可观察量。 3. 本征函数系的正交性 定义：若两个函数  1 和  2 满足 1 2   d 0,  =  则称它们是正交的。 正交性定理：同一个 Hermitian 算符的属于不同本征值的本征函数必是彼此正交的