证明:设 Hermitian算符F有两个本征函数内和φ2,分别属于本征值入和2且≠2,那么 入v1 Fv2=n2y2 所以 ∫v(Fv)dr=∫ⅵv2 =∫Gw)v2dr=∫wvdr 由于A1≠A2,所以 「vv2dz=0.■ 注意,这个定理的结论与F的本征值谱是分立(离散)谱还是连续谱无关。 彼此“正交”的几何意义就是彼此垂直 如果F的本征值谱是非简并的和离散的,本征值为{λ1,2…},本征函数为{,,…},那么波 函数是平方可积的,因而可以有限地归一化,所以我们有 「蝶dr=,(k1=12…) 其中 这称为函数系{,k=12.…}的正交归一关系,或正交归一性 为简单起见,以下记 「vdr=(v,p) 称为v和的“内积”。它的主要性质有 (v,v)≥0 其中当且仅当ψ=0时=号成立 C+c2,p)=q(v1,p)+c2(v2,p) (v,c+c22)=c1v,)+C2(,吗2) (v,p)°=(,y) 这样,函数系{}的正交归一性就可以写为 (,)=O, 而算符的 Hermitian共轭的定义可以写为 (,Fy)=(F中,y),(v,v) 所以 Hermitian算符就定义为 (中,Fy)=(F中,v).(v中,v 如果F的本征值谱是连续的,那么本征函数就不是平方可积的。这时候,本征函数系可以“按δ函 数归一化”。关于这个问题,我们将在以后再做说明 4.简并情形 如果出现简并(即一个本征值有若干个线性独立的本征函数)的情形,则正交性定理不能保证同 本征值的不同本征函数是彼此正交的。但是我们不难证明,经过对本征函数进行适当的重新组合,可以 使它们仍然是彼此正交的 假如内,P2,P,…是属于同一本征值的不同本征函数,彼此并不正交(但各自仍然是归一的)。那 么我们可以按照下面的方法组成一套新的本征函数A1,p2,3,…彼此是正交的。比如,让A=n 2=C1+c22,那么(A,2)=0导致c1(n,n)+c2(n,P2)=0,所以C=-C2(A1,P2),C2则由 P2的归一化来决定。依此类推。在线性代数里,这称为 Schmidt正交化程序。2 证明：设 Hermitian 算符 F ˆ 有两个本征函数 1 和 2 ，分别属于本征值 1 和 2 且   1 2  ，那么 1 1 1 F ˆ  =   , 2 2 2 F ˆ  =   , 所以 1 2 2 1 2 ( )        F d d ˆ   =   ( )     = F  d =    d 1 2 1 1 2 ˆ , 由于 1  2 ，所以 1 2 = 0     d . ▌ 注意，这个定理的结论与 F ˆ 的本征值谱是分立（离散）谱还是连续谱无关。 彼此“正交”的几何意义就是彼此垂直。 如果 F ˆ 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 1 ,2 ,  ，本征函数为 1 ,2 ,  ，那么波 函数是平方可积的，因而可以有限地归一化，所以我们有 , ( , 1,2, ) k l kl     d k l  = =  其中    =  = k l k l kl 1. 0,  . 这称为函数系 k , k = 1,2,  的正交归一关系，或正交归一性。 为简单起见，以下记      d ( , ),    称为  和  的“内积”。它的主要性质有： ( , ) 0,    其中当且仅当  = 0 时 = 号成立， 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), c c c c          + = + 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ),        c c c c + = + ( , ) ( , ).      = 这样，函数系 k 的正交归一性就可以写为 ( , ) ,    k l kl = 而算符的 Hermitian 共轭的定义可以写为 ˆ ˆ ( , ) ( , ), ( , )       F F+ =  所以 Hermitian 算符就定义为 ˆ ˆ ( , ) ( , ). ( , )       F F =  如果 F ˆ 的本征值谱是连续的，那么本征函数就不是平方可积的。这时候，本征函数系可以“按  函 数归一化”。关于这个问题，我们将在以后再做说明。 4. 简并情形 如果出现简并（即一个本征值有若干个线性独立的本征函数）的情形，则正交性定理不能保证同一 本征值的不同本征函数是彼此正交的。但是我们不难证明，经过对本征函数进行适当的重新组合，可以 使它们仍然是彼此正交的。 假如 1 2 3    , , , 是属于同一本征值的不同本征函数，彼此并不正交（但各自仍然是归一的）。那 么我们可以按照下面的方法组成一套新的本征函数 1 2 3    , , , 彼此是正交的。比如，让   1 1 = ，而 2 1 1 2 2    = + c c ，那么 1 2 ( , ) 0   = 导致 1 1 1 2 1 2 c c ( , ) ( , ) 0     + = ，所以 1 2 1 2 c c = − ( , )   ， 2 c 则由 2 的归一化来决定。依此类推。在线性代数里，这称为 Schmidt 正交化程序