5.同时本征函数 但是在量子力学里,我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性,那就是考虑同 时本征函数 定理:若[F,G]=0,即是FG=GF,则F和G可以有同时(共同)本征函数,即存在φ使得 Fp=和Gφ=((A和是常数)同时成立 我们不对这个定理进行严格的证明了。 该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符{户,G,,…,它们是两两对易 的,即满足[F,G]=[F,H=[G,H=…=0,那么它们就可以有同时本征函数,即存在φ使得 Fp=,G=p,H=K同时成立,其中,,k是常数 同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。 这样,如果算符F的本征值λ有简并,我们就再引进另一个算符G,满足[F,O]=0,并求出F和 G的同时本征函数。如果对于F简并的(同时)本征函数对于G不再是简并的(即分属于G的不同的 本征值),那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能F和G的同时本征函数仍然有简并 那么我们就再引进第三个算符例如H,满足[F,G]=[F,H]=[G,H]=0,并求出F,G,H的同时本 函数,如此等等,直到所有的简并完全去除为止。这时,是一组(而不是仅仅一个)量子数例如 (n,l,m,…)完全确定了一个量子态(即一个同时本征函数)。如果这些量子数都是分立量子数,那么这 些同时本征函数的正交归一关系就是 (中mn,中nm)= Emere6n 6.力学量的完备集 某个力学量有简并本征函数的这种情形,多半出现在多自由度体系中。例如,如果一个粒子在三维 空间中运动,按照经典力学它的自由度数就是3,这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够 定义:对于一个量子力学系统,一组彼此函数独立而又两两对易,并且完全去除简并的力学量的集 合,称为它的完备力学量集 完备力学量集里所包含的力学量的数目,通常是在经典力学中该系统的自由度数之外,再加上一些 具有“纯”量子力学起源的自由度,例如宇称,自旋,或者一些“内部”自由度(例如同位旋)。 完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子(不管它受到什么 势场的作用,完备力学量集可以选为{元,j,},也可以选为{2B,P2}。但是,{元,j,的同时本 征函数一定不是系统的 Schrodinger方程的解,除去自由粒子以外,{B2,p2}的同时本征函数也不 是 Schrodinger方程的解,所以这些选择不是最方便的。经常地,我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian,这样的完备力学量集称为完备守恒量集(对于“守恒”这个术语我们以后还会解释)。 7.一般力学量的测量几率 根据完备力学量集的定义和态的叠加原理,完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该 系统的量子状态的正交归一完备基底,也就是说,系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合 以离散本征值的情况为例,把完备力学量集的同时本征态记为vk,其中k代表一个量子数组,那 么{vk}的正交归一关系是 而任何状态v都可以展开为 由于 (vk,v)=∑a(vk,vk)=∑ak=a 所以v的展开式的系数就是 ak=(r, y),3 5. 同时本征函数 但是在量子力学里，我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性，那就是考虑同 时本征函数。 定理：若 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，即是 F ˆ G ˆ = G ˆ F ˆ ，则 F ˆ 和 G ˆ 可以有同时（共同）本征函数，即存在  使得 F ˆ  =  和 G ˆ  =  （  和  是常数）同时成立。 我们不对这个定理进行严格的证明了。 该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符 , } ˆ , ˆ , ˆ {F G H  ，它们是两两对易 的，即满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H =  = ，那么它们就可以有同时本征函数，即存在  使得 F ˆ  =  ，G ˆ  =  ， H ˆ  =  同时成立，其中 , ,  是常数。 同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。 这样，如果算符 F ˆ 的本征值  有简并，我们就再引进另一个算符 G ˆ ，满足 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，并求出 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数。如果对于 F ˆ 简并的（同时）本征函数对于 G ˆ 不再是简并的（即分属于 G ˆ 的不同的 本征值），那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数仍然有简并， 那么我们就再引进第三个算符例如 H ˆ ，满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H = ，并求出 F G H ˆ , ˆ , ˆ 的同时本 征函数，如此等等，直到所有的简并完全去除为止。这时，是一组（而不是仅仅一个）量子数例如 (n,l,m, ) 完全确定了一个量子态（即一个同时本征函数）。如果这些量子数都是分立量子数，那么这 些同时本征函数的正交归一关系就是 ( , ) .      nlm n l m nn ll mm       = 6. 力学量的完备集 某个力学量有简并本征函数的这种情形，多半出现在多自由度体系中。例如，如果一个粒子在三维 空间中运动，按照经典力学它的自由度数就是 3，这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够 的。 定义：对于一个量子力学系统，一组彼此函数独立而又两两对易，并且完全去除简并的力学量的集 合，称为它的完备力学量集。 完备力学量集里所包含的力学量的数目，通常是在经典力学中该系统的自由度数之外，再加上一些 具有“纯”量子力学起源的自由度，例如宇称，自旋，或者一些“内部”自由度（例如同位旋）。 完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子（不管它受到什么 势场的作用），完备力学量集可以选为 { , , } x y z ˆ ˆ ˆ ，也可以选为 { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 。但是， { , , } x y z ˆ ˆ ˆ 的同时本 征函数一定不是系统的 Schrödinger 方程的解，除去自由粒子以外， { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 的同时本征函数也不 是 Schrödinger 方程的解，所以这些选择不是最方便的。经常地，我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian H ˆ ，这样的完备力学量集称为完备守恒量集（对于“守恒”这个术语我们以后还会解释）。 7. 一般力学量的测量几率 根据完备力学量集的定义和态的叠加原理，完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该 系统的量子状态的正交归一完备基底，也就是说，系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合。 以离散本征值的情况为例，把完备力学量集的同时本征态记为  k ，其中 k 代表一个量子数组，那 么 { }  k 的正交归一关系是 ( , ) ,    k k kk   = 而任何状态  都可以展开为 . k k k   = a 由于 ( , ) ( , ) , k k k k k k k k k k          = = =   a a a 所以  的展开式的系数就是 ( , ), k k a =  