第二十六讲 Laplace变换 第3页 826.2 Laplace变换的基本性质 性质26.1 Laplace变换是一个线性变换,即若 fi(t)=F1(p),f2(1)=F2(P) a1fi(t)+a2f2(t)=a1F1(p)+a2F2() 这个性质很容易从 Laplace变换的定义得到,因为它只不过是积分运算的线性性质的反 根据这个性质,立即得到 sin wt= p+ 性质26,2 Laplace换式的解析性 这个性质可以用来确定收敛横标s,这在求 Laplace变换的反演时是非常重要的 性质26.3若f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 F(p)→0.当Rep=8→+∞ 性质26.4原函数的导数的 Laplace变换,设f()及f(t)都满足 Laplace变换存在的充分 条件,f(t)=F(p),则 f(t)=pF(p)-f(0) 对原函数∫(U)的微商运算转化为对象函数F()的乘法运算,而且还自动包括了∫(t)的 初值.正因为这个特点,所以 Laplace变换方法是求解微分方程的一种重要方法 同样,只要ft,f"(t),……,f)(t)都满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p),则 f"(t)=p2F(p)-pf(0)-f'(0), f3)(t)=p3F(p)-p2f(0)-pf(0)-f"(O), (n)(t)=pF(p)-pn-1f(0)-p-2f"(0) (n-2(0)-fmn-1)(0)Wu Chong-shi ëìíîï Laplace ➅➆ ➊ 3 ➋ §26.2 Laplace ✞✟ðñòóô õö 26.1 Laplace ✺✻✼✽÷øõ ✺✻ ✶⑤ù f1(t) ; F1(p), f2(t) ; F2(p), ú α1f1(t) + α2f2(t) ; α1F1(p) + α2F2(p). ➻û✴✵üý þÿ Laplace ✠✡✒✰✱￾✁✶ ✂❢✸ ❐✄☎✎✕✖✆✝✒✞✴✴✵✒✟ ✠ ✗✡☛➻û✴✵✶☞ ➪￾✁ sin ωt = e iωt − e −iωt 2i ; 1 2i  1 p − iω − 1 p + iω  = ω p 2 + ω2 ; cos ωt = e iωt − e −iωt 2 ; 1 2  1 p − iω + 1 p + iω  = p p 2 + ω2 . õö 26.2 Laplace ✻✌➎✍✎õ ✗ ➻û✴✵✏ ✷✑✑✒✰✓✔✕✖ s0 ✶ ➻✘✗ Laplace ✠✡✒✟✘❥✎ ✙✏✚ ❴ ✒✗ õö 26.3 ù f(t) ➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ ú F(p) → 0, ❼ Re p = s → +∞. õö 26.4 ✜✢✣➎✤✣➎ Laplace ✺✻ ✗✥ f(t) ✦ f 0 (t) ➀➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú f 0 (t) ; pF(p) − f(0). ➴✧★✙ f(t) ✒✩✪✆✝✫✬❢➴✭★✙ F(p) ✒✮✯✆✝✶➯➲✰ ✱✲ ✳✴ ➢ f(t) ✒ ✵ ➬✗ ➹ ✂❢➻û✶➧ ✶✷ ✷ Laplace ✠✡✸✯✎ ✗❡ ✩✖✸ ✥ ✒✓✔✚ ❴ ✸✯✗ ③④✶✹ Õ f(t), f0 (t), · · · , f(n) (t) ➀➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú f 00(t) ; p 2F(p) − pf(0) − f 0 (0), f (3)(t) ; p 3F(p) − p 2 f(0) − pf0 (0) − f 00(0), . . . f (n) (t) ; p nF(p) − p n−1 f(0) − p n−2 f 0 (0) − · · · − pf(n−2)(0) − f (n−1)(0)