第一章线性规划基础 人们在生产实践中，常常遇到如下的问题：如何运用现有资源（如人力、机器小时、 原材料等安排生产，使产值最大或利润最高？对给定的任务，如何统筹安排，以便用最少 的资源消耗去完成任务.对于这种从生产的计划与组织中提出的以达到最大收益或最小 支付为目标的问题的研究，构成了运筹学的一个重要分支一数学规划论，而线性规划侧 是其中发展最早、理论比较成熟、应用最为广泛的 一个分支 早在1939年苏联数学家康特洛维奇就对运筹学中的一些问题进行了研究.特别是 在Dantzig和Khn等数学家提出了单纯形法和对偶理论后，大大完善了线性规划的理论 和计算方法，促进了线性规划乃至运筹学的快速发展和广泛的应用. S1.1线性规划问题的一般模型 用线性规划解决实际问题的基本步骤是先建立问题的数学模型，然后对模型求解所 谓建立数学模型，就是将问题用数学语言描述出来 下面先用两个简单的模型来说明什么是线性规划间题以及如何建立线性搜划模型 例1.有甲、乙两种产品，都要在车间A和车间B加工，有关资料如表1-1. 表1-1 产品 在A加工时数在B加工时数 单位产品利润 市场限制 甲 2 1 2 1 1 4 ≤7 车间可用工时 10 间如何组织生产，使利润最大？ 解问题是要确定使得利润最大的甲、乙两种产品的产量，不妨设 1=甲产品的产量 x2=乙产品的产量 因为车间A和车间B的可用工时分别为10和8，所以加工x1单位的产品甲和x2 单位的产品乙在车间A和车间B消耗的工时不应超过车间A和B的可用工时，同时产 品乙的产量不应超过市场需求的限制，可见车间A、B的可用工时和乙产品的市场需求量 是限制产品产量的几个因素或条件，因此五1和2应满足以下不等式： 2z1+x2≤10， (A车间工时限制) (1.1) x1+T2≤8. (B车间工时限制 (1.2) 2≤7， (产品乙的市场限制) (1.3) 另外产品的产量还必须为正数，因此1、2还应满足 ≥0，对一切 (1.4) 1 ￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠ ✡☞☛☞✌☞✍☞✎☞✏☞✑✓✒, ✔☞✔☞✕☞✖☞✗☞✘☞✙☞✚☞✛: ✗☞✜☞✢☞✣☞✤☞✥☞✦☞✧ (✗✡☞★☞✩✫✪☞✬☞✭☞✮☞✩ ✯✱✰✱✲✱✳) ✴✱✵✍✱✎, ✶ ✎✱✷✱✸✱✹✱✺✱✻✱✼✱✸✱✽? ✾✱✿✱❀✱✙✱❁✱❂, ✗✱✜✱❃✱❄✱✴✱✵, ❅✱❆✱✣✸✱❇ ✙☞✦☞✧☞❈☞❉☞❊☞❋☞●☞❁☞❂. ✾☞❍☞■☞❏☞❑✍☞✎✙☞▲☞▼☞◆☞❖☞P ✒❘◗☞❙ ✙☞❅☞❚☞✖✸☞✹☞❯☞❱☞✺☞✸☞✭ ❲✱❳✱❨❬❩❪❭✙✱✚✱✛✱✙✱❫✱❴, ❵✱●✱❛✱✢✱❄✱❜✱✙✱❝✱❞✱❡✱❢✱❣❲ —- ❤✱❜✱✐✱▼✱❥, ❦✱❧✱♠✱✐✱▼✱♥ ♦✱♣ ✒rq✱s✱✸✱t✱✩✫✉❥✇✈r①✱●✱②✩✫③✣✸❨✱④✱⑤✙✱❝✱❞✱❣❲ . t✱✌ 1939 ⑥, ⑦✱⑧✱❤✱❜✱⑨✱⑩✱❶✱❷✱❸✱❹✱❺☞✾☞✢✱❄☞❜ ✒✙☞❝✱❻☞✚☞✛✱❼☞❽☞❛✱❫☞❴. ❶✱❾♦ ✌ Dantzig ❿ Kuhn ✳❤✱❜✱⑨◗✱❙ ❛✱➀✱➁✱➂✱➃✱❿✱✾✱➄✉❥✱➅, ✹✱✹❋✱➆✱❛✱❧✱♠✱✐✱▼✱✙✉❥ ❿✱▲✱➇✱➈✱➃, ➉✱❼✱❛✱❧✱♠✱✐✱▼✱➊✱➋✱✢✱❄✱❜✱✙✱➌✱➍q✱s❿④✱⑤✙③ ✣. §1.1 ➎➐➏➐➑➐➒➐➓➐➔➐→➐➣➐↔➐↕➛➙ ✣✱❧✱♠✱✐✱▼✱➜✱➝✏✱➞✚✱✛✱✙✱➟✱➠✱➡✱➢♦✱➤✱➥✱➦✚✱✛✱✙✱❤✱❜✱➧✱➨, ➩✱➅✱✾✱➧✱➨✱➫✱➜. ➭ ➯✱➥✱➦❤✱❜✱➧✱➨, ❺ ♦✱➲✚✱✛✱✣✱❤✱❜✱➳✱➵✱➸✱➺❙✱➻. ✘✱➼➤ ✣✱➽✱❞✱➾✱➀✱✙✱➧✱➨➻✱➚✇➪r➶✱➹♦ ❧✱♠✱✐✱▼✱✚✱✛✱❅✱➘✱✗✱✜➥✱➦❧✱♠✱✐✱▼✱➧✱➨. ➴ 1. ✥✇➷ ✩➮➬➽✱❏✎✱➱, ✃✱❢✌✱❐✱❒ A ❿❐✱❒ B ❮✱❰, ✥✱Ï✱✦✲ ✗✱Ð 1–1. Ð 1–1 ✎✱➱ ✌ A ❮✱❰✮ ❤ ✌ B ❮✱❰✮ ❤ ➀✱Ñ✎✱➱✱✻✱✼ (Ò) Ó✱Ô✱Õ✱Ö ➷ 2 1 6 – ➬ 1 1 4 ≤ 7 ❐✱❒✱×✣✱❰✮ 10 8 ✚✱✗✱✜✱❖✱P✍✱✎, ✶ ✻✱✼✱✸✱✹? Ø ✚✱✛♦ ❢✱Ù✱❀✱✶✱Ú✻✱✼✱✸✱✹✙✇➷ ✩➮➬➽✱❏✎✱➱✙✎✱Û, Ü✱Ý✱Þ x1 = ➷✎✱➱✙✎✱Û; x2 = ➬r✎✱➱✙✎✱Û. ß❨❐☞❒ A ❿❐☞❒ B ✙× ✣☞❰✮ ❣☞❾❨ 10 ❿ 8, ➭☞❅☞❮☞❰ x1 ➀☞Ñ☞✙✎☞➱ ➷❘❿ x2 ➀✱Ñ✱✙✎✱➱✇➬r✌✱❐✱❒ A ❿❐✱❒ B ❈✱❉✱✙✱❰✮ Ü③✱à✱á✱❐✱❒ A ❿ B ✙× ✣✱❰✮ , â✮✱✎ ➱ã➬✙✎äÛÜ③äàäáÓ✱Ôäå➫✱✙Õ✱Ö, ×äæä❐ä❒ A✩ B ✙× ✣ä❰✮ ❿ ➬➮✎ä➱✙Ó✱Ô✱å➫Û ♦ Õ✱Ö✎✱➱✱✎✱Û✙✱ç✱❞ß✱è✺✱é✱ê, ß✱ë x1 ❿ x2 ③✱ì✱í❅✱✘✱Ü✳✱î: 2x1 + x2 ≤ 10, (A❐✱❒❰✮ Õ✱Ö) (1.1) x1 + x2 ≤ 8, (B❐✱❒❰✮ Õ✱Ö) (1.2) x2 ≤ 7, (✎✱➱✇➬✙Ó✱Ô✱Õ✱Ö) (1.3) ï✱ð✎✱➱✙✎✱Û✱ñ✱ò✱ó❨✱ô❤✱õ ß✱ë x1 ✩ x2 ñ✱③✱ì✱í xj ≥ 0, ✾✱❝✱öj. (1.4) 1