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Vol.28 No.8 宋毅等：用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上流动问题 .783, 其中C1,C2和C3是系数，F(M,q)是关于n和g 故有一阶渐近解： 的实函数，q∈[0,1]是一个嵌入变量.根据方程 f(0=c+1-ep(-W+2(c+k)(1-)· (4),定义非线性算子 N[r(1=产W+g)产号 、子En.q- exp(-)-2(c+ki)exp(-2) ∂7 rq2-g号 2.3收敛定理 定理如果级数(10)收敛，那么它就是方程 构造零阶变形方程： (4),(5)的精确解 (1-q)L[F(”q)-fo(0]+gN[F(n.q)]=0(6) 证明根据Xm的定义和m阶变形方程 边界条件为： (11),存在正整数M使得 F(0.q)=e.E(g) =1, 空R(勿=- L[fa(列-xf.-1(0]= =0 m三1 F(q) 一Lr[fn()] ∂m 如果级数(10)收敛，必然有： 当q=0时，零阶变形方程(6)，(7)有解： lim fy()=0. F(1,0)=fo() (8) 于是，由辅助线性算子的定义和上面的两个表达 当q=1时，零阶变形方程(6)，(7)与原方程(4)， 式，可得： (5)相同，有解： F(n,1)=f() (9) (=一h1= 一L[imfu()]=0. 因此，当嵌入变量q从0变化到1时，F(7,q)从 将Rm()的定义(13)带入上述表达式，可得： 初始解fo()变化到精确解f() 由泰勒公式和式(8)，(9)，得： .(0其+ 含四-空（司+ F(q)=fo()+2 [空（可{苕（可- .(=d“g ∂吧 g=0 H点r(宫（可- 若级数在g=1处收敛，则有： f()=fo()+, （勇 (10) 宫r(到-0 (14) 2.2高阶变形方程 由边界条件(12)和初始解的定义，有： 关于q微分零阶变形方程(6)，(7)m次，除 以m!,再令q=0,得到m阶变形方程： (15) L[fm（)一Xnfm-1()]=-Rm（)）(1l) 相应的边界条件为： 于是，由(14)，(15)可知，级数， .()是方程 fm(0)=fm(0)=fm(o)=0 (12) (4),(5)的精确解. 其中 3结果和讨论 0 m≤1 (1m≥2 通过相似变换和同伦分析法，求得该控制方 程及其边界条件的相似解.图1给出了量纲为一 R.(列=f-(0+三(0-(0- 速度∫()在特殊的渗透参数和抽吸喷注参数情 况下的分布，表1给出了壁摩擦系数随着渗透参 空02-t(0--(0() 数的分布，可见，壁摩擦系数随着渗透参数的增 大而增大，其中 C1C2 和 C3 是系数F（ηq）是关于 η和 q 的实函数q∈［01］是一个嵌入变量．根据方程 （4）定义非线性算子 Nf［ F（ηq）］＝ ∂3F（ηq） ∂η3 ＋F（ηq） ∂2F（ηq） ∂η2 — ∂F（ηq） ∂η 2 —k1 ∂F（ηq） ∂η 构造零阶变形方程： （1—q）Lf［ F（ηq）—f0（η）］＋qNf［ F（ηq）］＝0（6） 边界条件为： F（0q）＝c ∂F（ηq） ∂η η＝0 ＝1 ∂F（ηq） ∂η η＝∞ ＝0 （7） 当 q＝0时零阶变形方程（6）（7）有解： F（η0）＝ f0（η） （8） 当 q＝1时零阶变形方程（6）（7）与原方程（4） （5）相同有解： F（η1）＝ f （η） （9） 因此当嵌入变量 q 从0变化到1时F（ηq）从 初始解 f0（η）变化到精确解 f （η）． 由泰勒公式和式（8）（9）得： F（ηq）＝ f0（η）＋ ∑ ＋∞ m＝1 f m（η） q m其中 f m（η）＝ 1 m！ ∂mF（ηq） ∂ηm q＝0 ． 若级数在 q＝1处收敛则有： f （η）＝ f0（η）＋ ∑ ＋∞ m＝1 f m（η） （10） 2∙2 高阶变形方程 关于 q 微分零阶变形方程（6）（7） m 次除 以 m！再令 q＝0得到 m 阶变形方程： Lf ［ f m（η）—χm f m—1（η）］＝— Rm（η） （11） 相应的边界条件为： f m（0）＝ f′m（0）＝ f′m（∞）＝0 （12） 其中 χm＝ 0 m≤1 1 m≥2 Rm（η）＝ f●m—1（η）＋ ∑ m－1 n＝0 f n（η） f″m—1— n（η）— ∑ m－1 n＝0 f′n（η） f′m—1— n（η）—k1f′m—1（η） （13） 故有一阶渐近解： f （η）＝c＋1—exp（—η）＋ 1 2 （ c＋k1）（1—η）· exp（—η）— 1 2 （ c＋k1）exp（—2η）． 2∙3 收敛定理 定理 如果级数（10）收敛那么它就是方程 （4）（5）的精确解． 证明 根据 χm 的定义和 m 阶变形方程 （11）存在正整数 M 使得 ∑ M m＝1 Rm（η）＝— ∑ M m＝1 Lf ［ f m（η）—χm f m—1（η）］＝ —Lf ［ f M（η）］． 如果级数（10）收敛必然有： limM→∞ f M（η）＝0． 于是由辅助线性算子的定义和上面的两个表达 式可得： ∑ ＋∞ m＝1 Rm（η）＝— limM→∞ Lf ［ f M（η）］＝ —Lf ［ limM→∞ f M（η）］＝0． 将 Rm（η）的定义（13）带入上述表达式可得： ∑ ＋∞ m＝1 Rm（η）＝ d 3 dη3 ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） ＋ ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） d 2 dη2 ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） — d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） — k1 d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） ＝0 （14） 由边界条件（12）和初始解的定义有： ∑ ＋∞ m＝0 f m（0）＝c∑ ＋∞ m＝0 f′m（0）＝1∑ ＋∞ m＝0 f′m（＋∞）＝0 （15） 于是由（14）（15）可知级数 ∑ ＋∞ m＝0 f m （η）是方程 （4）（5）的精确解． 3 结果和讨论 通过相似变换和同伦分析法求得该控制方 程及其边界条件的相似解．图1给出了量纲为一 速度 f′（η）在特殊的渗透参数和抽吸喷注参数情 况下的分布．表1给出了壁摩擦系数随着渗透参 数的分布．可见壁摩擦系数随着渗透参数的增 大而增大． Vol．28No．8 宋毅等： 用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上流动问题 ·783·