D0I:10.13374/1.issnl00I53.2006.08.017 第28卷第8期 北京科技大学学报 Vol.28 No.8 2006年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug:2006 用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动 延伸表面上流动问题 宋毅) 郑连存)张欣欣) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要研究了具有抽吸喷注的多孔介质延伸表面上二维稳态层流的流动问题。用一种解析的方 法一同伦分析方法一求得了该流动问题的相似解·给出了量纲为一的速度分布以及在不同渗 透参数情况下壁摩擦系数的变化· 关键词边界层：延伸表面：抽吸：喷注：非线性：同伦分析方法 分类号0175.1 连续运动、延伸表面边界层问题出现在大量 数，。是有效粘度，m是渗流速度.选择合适的 自然现象和工业制造工艺中，如在热轧、拔丝、玻 流函数(x,y),使其满足 璃纤维和造纸、塑料薄膜拉伸、金属和聚合物挤出 a中 等领域中，对于这些问题的研究引起了广大科学 u一ay 家和工程技术人员的广泛关注·伴随着 引入相似变换] Sakiadis[-先驱性的工作，人们在对流体绕流具 =、 uo9 有连续性延伸移动表面的边界层问题的研究上取 )=N9f(0 得了很多进展，在不少文献中，用延伸速度、温度 得到如下的非线性常微分方程： 或流量分布的变化来描述热量和动量的传输过程 f()+f()f()一f()-kf'()=0 的模型 (4) f(0)=c,f(0)=1,f'(+∞)=0 (5) 1边界层控制方程 考虑二维稳态层流流过渗透系数为k的多 卫为抽 1=为渗透参数，c=士U” 孔介质延伸表面，且延伸表面以初速度0沿x 吸喷注参数，()表示量纲为一流函数 轴向运动，沿x轴的两个大小相等、方向相反的 2同伦分析方法求解 力使得延伸壁面上原点固定，y轴垂直于壁面· 层流边界层控制方程组为： 2.1零阶变形方程 Ju13u=0 下面用同伦分析方法求解非线性方程 ax ay (1) (4),(5),根据边界条件(5)可以选择 u十v0 u a x = (2) fo()=c十1一exp(-) 作为方程(4)的初始解，当c=一k1时，初始解f0 边界条件为： ()就是方程(4)的解，根据方程(4)选择辅助线 y=0,u=u0x,v=土vw,y→oo,u=0,(③) 性算子 其中u和v分别是x轴和y轴上的速度分量，k 是多孔介质的渗透参数，P是密度，μ是粘性系 Lk[F(7.qD]=Eq+2形E.p an a 收稿日期：2005-04-13修回日期：2006-03-14 aE(94-2F(1,q) an 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.50476083)和教有部 跨世纪人才基金资助项目 其具有如下性质： 作者简介：宋毅(1981一)，女，硕士研究生；郑连存(1957一)，男 L[C1exp()+C2exp(一)十 教授，博士 C3exp(-2)]=0
用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动 延伸表面上流动问题 宋 毅1） 郑连存1） 张欣欣2） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 研究了具有抽吸喷注的多孔介质延伸表面上二维稳态层流的流动问题．用一种解析的方 法———同伦分析方法———求得了该流动问题的相似解．给出了量纲为一的速度分布以及在不同渗 透参数情况下壁摩擦系数的变化． 关键词 边界层；延伸表面；抽吸；喷注；非线性；同伦分析方法 分类号 O175∙1 收稿日期：20050413 修回日期：20060314 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50476083）和教育部 跨世纪人才基金资助项目 作者简介：宋毅（1981—）女硕士研究生；郑连存（1957—）男 教授博士 连续运动、延伸表面边界层问题出现在大量 自然现象和工业制造工艺中如在热轧、拔丝、玻 璃纤维和造纸、塑料薄膜拉伸、金属和聚合物挤出 等领域中对于这些问题的研究引起了广大科学 家 和 工 程 技 术 人 员 的 广 泛 关 注． 伴 随 着 Sakiadis ［12］先驱性的工作人们在对流体绕流具 有连续性延伸移动表面的边界层问题的研究上取 得了很多进展．在不少文献中用延伸速度、温度 或流量分布的变化来描述热量和动量的传输过程 的模型． 1 边界层控制方程 考虑二维稳态层流流过渗透系数为 k 的多 孔介质延伸表面且延伸表面以初速度 u0 沿 x 轴向运动．沿 x 轴的两个大小相等、方向相反的 力使得延伸壁面上原点固定y 轴垂直于壁面． 层流边界层控制方程组［3］为： ∂u ∂x ＋ ∂v ∂y ＝0 （1） ρ u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝μ ∂2u ∂y 2— μe k u （2） 边界条件为： y＝0u＝ u0xv＝±vωy→∞u＝0（3） 其中 u 和 v 分别是 x 轴和 y 轴上的速度分量k 是多孔介质的渗透参数ρ是密度μ是粘性系 数μe 是有效粘度vω 是渗流速度．选择合适的 流函数 ψ（ xy）使其满足 u＝ ∂ψ ∂y v＝— ∂ψ ∂x ． 引入相似变换［3］： η＝ u0ρ μ yψ（ xy）＝ μu0 ρ x f （η） 得到如下的非线性常微分方程： f●（η）＋ f （η） f″（η）— f′（η） 2—k1f′（η）＝0 （4） f （0）＝cf′（0）＝1f′（＋∞）＝0 （5） 其中 k1＝ μe u0ρk 为渗透参数c＝± vω ρ μu0 为抽 吸喷注参数f （η）表示量纲为一流函数． 2 同伦分析方法求解 2∙1 零阶变形方程 下面用同伦分析方法［47］ 求解非线性方程 （4）（5）．根据边界条件（5）可以选择 f0（η）＝c＋1—exp（—η） 作为方程（4）的初始解．当 c＝—k1 时初始解 f0 （η）就是方程（4）的解．根据方程（4）选择辅助线 性算子 Lf ［ F（ηq）］＝ ∂3F（ηq） ∂η3 ＋2 ∂2F（ηq） ∂η2 — ∂F（ηq） ∂η —2F（ηq） 其具有如下性质： Lf ［ C1exp（η）＋C2exp（—η）＋ C3exp（—2η）］＝0． 第28卷 第8期 2006年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．28No．8 Aug．2006 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2006．08．017
Vol.28 No.8 宋毅等：用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上流动问题 .783, 其中C1,C2和C3是系数，F(M,q)是关于n和g 故有一阶渐近解： 的实函数，q∈[0,1]是一个嵌入变量.根据方程 f(0=c+1-ep(-W+2(c+k)(1-)· (4),定义非线性算子 N[r(1=产W+g)产号 、子En.q- exp(-)-2(c+ki)exp(-2) ∂7 rq2-g号 2.3收敛定理 定理如果级数(10)收敛，那么它就是方程 构造零阶变形方程： (4),(5)的精确解 (1-q)L[F(”q)-fo(0]+gN[F(n.q)]=0(6) 证明根据Xm的定义和m阶变形方程 边界条件为： (11),存在正整数M使得 F(0.q)=e.E(g) =1, 空R(勿=- L[fa(列-xf.-1(0]= =0 m三1 F(q) 一Lr[fn()] ∂m 如果级数(10)收敛，必然有： 当q=0时，零阶变形方程(6)，(7)有解： lim fy()=0. F(1,0)=fo() (8) 于是，由辅助线性算子的定义和上面的两个表达 当q=1时，零阶变形方程(6)，(7)与原方程(4)， 式，可得： (5)相同，有解： F(n,1)=f() (9) (=一h1= 一L[imfu()]=0. 因此，当嵌入变量q从0变化到1时，F(7,q)从 将Rm()的定义(13)带入上述表达式，可得： 初始解fo()变化到精确解f() 由泰勒公式和式(8)，(9)，得： .(0其+ 含四-空（司+ F(q)=fo()+2 [空（可{苕（可- .(=d“g ∂吧 g=0 H点r(宫（可- 若级数在g=1处收敛，则有： f()=fo()+, （勇 (10) 宫r(到-0 (14) 2.2高阶变形方程 由边界条件(12)和初始解的定义，有： 关于q微分零阶变形方程(6)，(7)m次，除 以m!,再令q=0,得到m阶变形方程： (15) L[fm（)一Xnfm-1()]=-Rm（)）(1l) 相应的边界条件为： 于是，由(14)，(15)可知，级数， .()是方程 fm(0)=fm(0)=fm(o)=0 (12) (4),(5)的精确解. 其中 3结果和讨论 0 m≤1 (1m≥2 通过相似变换和同伦分析法，求得该控制方 程及其边界条件的相似解.图1给出了量纲为一 R.(列=f-(0+三(0-(0- 速度∫()在特殊的渗透参数和抽吸喷注参数情 况下的分布，表1给出了壁摩擦系数随着渗透参 空02-t(0--(0() 数的分布，可见，壁摩擦系数随着渗透参数的增 大而增大
其中 C1C2 和 C3 是系数F（ηq）是关于 η和 q 的实函数q∈［01］是一个嵌入变量．根据方程 （4）定义非线性算子 Nf［ F（ηq）］＝ ∂3F（ηq） ∂η3 ＋F（ηq） ∂2F（ηq） ∂η2 — ∂F（ηq） ∂η 2 —k1 ∂F（ηq） ∂η 构造零阶变形方程： （1—q）Lf［ F（ηq）—f0（η）］＋qNf［ F（ηq）］＝0（6） 边界条件为： F（0q）＝c ∂F（ηq） ∂η η＝0 ＝1 ∂F（ηq） ∂η η＝∞ ＝0 （7） 当 q＝0时零阶变形方程（6）（7）有解： F（η0）＝ f0（η） （8） 当 q＝1时零阶变形方程（6）（7）与原方程（4） （5）相同有解： F（η1）＝ f （η） （9） 因此当嵌入变量 q 从0变化到1时F（ηq）从 初始解 f0（η）变化到精确解 f （η）． 由泰勒公式和式（8）（9）得： F（ηq）＝ f0（η）＋ ∑ ＋∞ m＝1 f m（η） q m其中 f m（η）＝ 1 m！ ∂mF（ηq） ∂ηm q＝0 ． 若级数在 q＝1处收敛则有： f （η）＝ f0（η）＋ ∑ ＋∞ m＝1 f m（η） （10） 2∙2 高阶变形方程 关于 q 微分零阶变形方程（6）（7） m 次除 以 m！再令 q＝0得到 m 阶变形方程： Lf ［ f m（η）—χm f m—1（η）］＝— Rm（η） （11） 相应的边界条件为： f m（0）＝ f′m（0）＝ f′m（∞）＝0 （12） 其中 χm＝ 0 m≤1 1 m≥2 Rm（η）＝ f●m—1（η）＋ ∑ m－1 n＝0 f n（η） f″m—1— n（η）— ∑ m－1 n＝0 f′n（η） f′m—1— n（η）—k1f′m—1（η） （13） 故有一阶渐近解： f （η）＝c＋1—exp（—η）＋ 1 2 （ c＋k1）（1—η）· exp（—η）— 1 2 （ c＋k1）exp（—2η）． 2∙3 收敛定理 定理 如果级数（10）收敛那么它就是方程 （4）（5）的精确解． 证明 根据 χm 的定义和 m 阶变形方程 （11）存在正整数 M 使得 ∑ M m＝1 Rm（η）＝— ∑ M m＝1 Lf ［ f m（η）—χm f m—1（η）］＝ —Lf ［ f M（η）］． 如果级数（10）收敛必然有： limM→∞ f M（η）＝0． 于是由辅助线性算子的定义和上面的两个表达 式可得： ∑ ＋∞ m＝1 Rm（η）＝— limM→∞ Lf ［ f M（η）］＝ —Lf ［ limM→∞ f M（η）］＝0． 将 Rm（η）的定义（13）带入上述表达式可得： ∑ ＋∞ m＝1 Rm（η）＝ d 3 dη3 ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） ＋ ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） d 2 dη2 ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） — d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） — k1 d dη ∑ ＋∞ m＝0 f m（η） ＝0 （14） 由边界条件（12）和初始解的定义有： ∑ ＋∞ m＝0 f m（0）＝c∑ ＋∞ m＝0 f′m（0）＝1∑ ＋∞ m＝0 f′m（＋∞）＝0 （15） 于是由（14）（15）可知级数 ∑ ＋∞ m＝0 f m （η）是方程 （4）（5）的精确解． 3 结果和讨论 通过相似变换和同伦分析法求得该控制方 程及其边界条件的相似解．图1给出了量纲为一 速度 f′（η）在特殊的渗透参数和抽吸喷注参数情 况下的分布．表1给出了壁摩擦系数随着渗透参 数的分布．可见壁摩擦系数随着渗透参数的增 大而增大． Vol．28No．8 宋毅等： 用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上流动问题 ·783·
,784 北京科技大学学报 2006年第8期 1.0 分析方法，求得该控制方程及其边界条件的相似 解.分析了量纲为一速度∫()的分布，以及在 0.8 不同的渗透参数和抽吸喷注参数情况下壁摩擦系 0.6 数的变化， 0.4 参考文献 0.2 [1]Sakiadis B C.Boundarylayer behavior on a continuous solid surface:I.Boundary-layer equations for two dimensional and 6 10 axisymmetric flow.AIChE J.1961.7.26 [2]Sakiadis B C.Boundarylayer behavior on a continuous solid 图1关于1的速度函数分布(c=一0.3，k1=0.5) surface:I Boundary-layer equations for two dimensional and Fig.1 Dimensionless velocity profile for c=-0.3,=0.5 axisymmetric flow.AIChE J.1961.7:221 [3] Elbashbeshy E M A.Bazid M AA.Heat transfer in a porous 表1不同渗透参数和抽吸喷注参数情况下壁摩擦系数的变化 medium over a stretching surface with internal heat generation Table 1 Skin friction coefficients at different permeability and in and suction or injection.Appl Math Comput.2004.158:799 jection parameters [4]Liao S J.Beyond Perturbation.New York:CRC Press Com- -f'(0) k1=0 k1=1 k1=2 pany:2004 c=-0.1 0.95 1.45 1.95 [5]LiaoSJ.Pop I.Explicit analytic solution for similarity bound- c=0.6 1.30 1.80 2.30 ary layer equations.Int J Heat Mass Transfer,2004.47:75 [6]Liao S J.On the homotopy analysis method for nonlinear prob- lems.Appl Math Comput.2004.147:499 4 结论 [7]Xu H.An explicit analytic solution for free convection about a vertical flat plate embedded in a porous medium by means of 研究了具有抽吸喷注的多孔介质延伸表面上 homotopy analysis method.Appl Math Comput.2004.158: 二维稳态层流的流动问题，通过相似变换和同伦 433 On the homotopy analysis method for solving the boundary layer flow problem over a stretching surface with suction and injection SONG Yi,ZHENG Lianeun),ZHANG Xinxin2) 1)Applied Science School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI This paper studied two-dimensional steady laminar flow over a porous medium stretching sur- face with suction or injection.The homotopy analysis method,a kind of analytical method,was applied to solve the problem.The solution presents representative profiles for the dimensionless velocity and the skin friction coefficient at different permeability and injection parameters. KEY WORDS boundary layer;stretching surface;suction;injection;nonlinear;homotopy analysis method
图1 关于 η的速度函数分布（ c＝－0∙3k1＝0∙5） Fig．1 Dimensionless velocity profile for c＝－0∙3k1＝0∙5 表1 不同渗透参数和抽吸喷注参数情况下壁摩擦系数的变化 Table1 Skin friction coefficients at different permeability and injection parameters — f″（0） k1＝0 k1＝1 k1＝2 c＝—0∙1 0∙95 1∙45 1∙95 c＝0∙6 1∙30 1∙80 2∙30 4 结论 研究了具有抽吸喷注的多孔介质延伸表面上 二维稳态层流的流动问题．通过相似变换和同伦 分析方法求得该控制方程及其边界条件的相似 解．分析了量纲为一速度 f′（η）的分布以及在 不同的渗透参数和抽吸喷注参数情况下壁摩擦系 数的变化． 参 考 文 献 ［1］ Sakiadis B C．Boundary-layer behavior on a continuous solid surface：Ⅰ．Boundary-layer equations for two-dimensional and axisymmetric flow．AIChE J19617：26 ［2］ Sakiadis B C．Boundary-layer behavior on a continuous solid surface：Ⅱ．Boundary-layer equations for two-dimensional and axisymmetric flow．AIChE J19617：221 ［3］ Elbashbeshy E M ABazid M A A．Heat transfer in a porous medium over a stretching surface with internal heat generation and suction or injection．Appl Math Comput2004158：799 ［4］ Liao S J．Beyond Perturbation．New York：CRC Press Company2004 ［5］ Liao S JPop I．Explicit analytic solution for similarity boundary layer equations．Int J Heat Mass Transfer200447：75 ［6］ Liao S J．On the homotopy analysis method for nonlinear problems．Appl Math Comput2004147：499 ［7］ Xu H．An explicit analytic solution for free convection about a vertical flat plate embedded in a porous medium by means of homotopy analysis method．Appl Math Comput2004158： 433 On the homotopy analysis method for solving the boundary layer flow problem over a stretching surface with suction and injection SONG Y i 1）ZHENG L iancun 1）ZHA NG Xinxin 2） 1） Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Mechanical Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT This paper studied two-dimensional steady laminar flow over a porous medium stretching surface with suction or injection．The homotopy analysis methoda kind of analytical methodwas applied to solve the problem．The solution presents representative profiles for the dimensionless velocity and the skin friction coefficient at different permeability and injection parameters． KEY WORDS boundary layer；stretching surface；suction；injection；nonlinear；homotopy analysis method ·784· 北 京 科 技 大 学 学 报 2006年第8期