D0I:10.13374/1.issnl00103.2009.10.019 第31卷第10期 北京科技大学学报 Vol.31 No.10 2009年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0t.2009 能力谱与侧向荷载分布模式的关系 王树和) 郝猷猷)高印立)宋波) 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)中国建筑科学研究院，北京100013 摘要根据结构动力学理论证明了能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应关系，指出对于不同的侧向荷载模 式，应采用不同的能力谱曲线转化公式并给出了具体的表达式·分别采用本文方法、传统方法和弹塑性时程分析对一个六层 钢筋混凝土框架结构进行了计算，证明了本文方法计算精度更高·利用该方法，采用多种侧向荷载模式对结构进行静力弹塑 性分析，能将侧向位移反应可能范围限定得更小，使人们把握实际地震反应大小的准确性得以提高 关键词能力谱方法：侧向荷载模式：静力非线性分析：地震反应 分类号P315.9 Relationship between capacity spectra and lateral load patterns WA NG Shu-he).HAO You-you2).GAO Yin-li2),SONG Bo) 1)School of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)China Academy of Building Research.Beijing 100013.China ABSTRACI Based on the structural dynamic theory,the relationship between capacity spectra and lateral load patterns was demon- strated.It was pointed out that different formulae of capacity spectrum curves should be used for different lateral load patterns and the formulas were given.A six"story reinforced concrete frame structure was designed and analyzed using the proposed method,the classi- cal method and the time history analysis method respectively.The result shows that the proposed method is more accurate.Using the proposed method and the different lateral load patterns the seismic response can be bounded within a narrower scope,which will help to know the seismic response more accurately KEY WORDS capacity spectra method:lateral load pattern:nonlinear static analysis:seismic response 基于性能的抗震设计理论是20世纪90年代初 时间，所以该方法目前难以在工程实际中推广，静 美国、日本等国家的学者根据近年来的震害调查提 力弹塑性分析方法由于其计算简单，结果具有足够 出的抗震设计思想，对世界地震工程界产生了深远 的精度，便于在实际工程上应用而受到人们的重视 的影响，现已成为21世纪各国抗震设计规范修订的 ATC一402)]中的能力谱方法和FEMA2733]中 主流方向山.准确把握结构在罕遇地震下的弹塑性 的位移系数法是两种采用静力弹塑性方法求解结构 地震反应是基于性能抗震设计理论的关键问题，目 位移反应的方法，其中能力谱方法较为常用，它是 前有两种方法可以用于弹塑性地震反应分析，其一 先对结构施加某种分布方式的侧向水平荷载，进行 是弹塑性动力时程分析，其二是静力弹塑性分析， 静力弹塑性(pushover)分析，获取结构的基底剪力 弹塑性动力时程分析用于求解结构地震反应，可以 顶部位移曲线，该曲线称为能力曲线；然后，根据原 获取结构随时间变化的破坏规律，被认为具有较高 结构转化成等效单自由度体系(ESDOF)的理论，将 的精度：但该方法计算结果对地震波选取较敏感，且 该能力曲线二折线后转化为谱加速度一谱位移 在确定构件的滞回模型参数、计算过程控制以及计 (S。一S)曲线，即能力谱曲线，获取原结构对应等 算结果的处理上均需要大量的专业知识，耗费较多 效单自由度体系(ESDOF)的屈服位移和屈服剪力， 收稿日期：2008-11-05 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目(N。.90715007) 作者简介：王树和(1966一)，男，副教授，E-mail:wangshuhe2001@153.com
能力谱与侧向荷载分布模式的关系 王树和1） 郝猷猷2） 高印立2） 宋 波1） 1） 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 2） 中国建筑科学研究院北京100013 摘 要 根据结构动力学理论证明了能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应关系指出对于不同的侧向荷载模 式应采用不同的能力谱曲线转化公式并给出了具体的表达式．分别采用本文方法、传统方法和弹塑性时程分析对一个六层 钢筋混凝土框架结构进行了计算证明了本文方法计算精度更高．利用该方法采用多种侧向荷载模式对结构进行静力弹塑 性分析能将侧向位移反应可能范围限定得更小使人们把握实际地震反应大小的准确性得以提高． 关键词 能力谱方法；侧向荷载模式；静力非线性分析；地震反应 分类号 P315∙9 Relationship between capacity spectra and lateral load patterns W A NG Shu-he 1）HA O You-you 2）GA O Y in-li 2）SONG Bo 1） 1） School of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） China Academy of Building ResearchBeijing100013China ABSTRACT Based on the structural dynamic theorythe relationship between capacity spectra and lateral load patterns was demonstrated．It was pointed out that different formulae of capacity spectrum curves should be used for different lateral load patterns and the formulas were given．A six-story reinforced concrete frame structure was designed and analyzed using the proposed methodthe classical method and the time history analysis method respectively．T he result shows that the proposed method is more accurate．Using the proposed method and the different lateral load patterns the seismic response can be bounded within a narrower scopewhich will help to know the seismic response more accurately． KEY WORDS capacity spectra method；lateral load pattern；nonlinear static analysis；seismic response 收稿日期：20081105 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目（No．90715007） 作者简介：王树和（1966—）男副教授E-mail：wangshuhe2001＠163．com 基于性能的抗震设计理论是20世纪90年代初 美国、日本等国家的学者根据近年来的震害调查提 出的抗震设计思想对世界地震工程界产生了深远 的影响现已成为21世纪各国抗震设计规范修订的 主流方向［1］．准确把握结构在罕遇地震下的弹塑性 地震反应是基于性能抗震设计理论的关键问题．目 前有两种方法可以用于弹塑性地震反应分析其一 是弹塑性动力时程分析其二是静力弹塑性分析． 弹塑性动力时程分析用于求解结构地震反应可以 获取结构随时间变化的破坏规律被认为具有较高 的精度；但该方法计算结果对地震波选取较敏感且 在确定构件的滞回模型参数、计算过程控制以及计 算结果的处理上均需要大量的专业知识耗费较多 时间所以该方法目前难以在工程实际中推广．静 力弹塑性分析方法由于其计算简单结果具有足够 的精度便于在实际工程上应用而受到人们的重视． ATC—40［2］ 中的能力谱方法和 FEMA273［3］ 中 的位移系数法是两种采用静力弹塑性方法求解结构 位移反应的方法其中能力谱方法较为常用．它是 先对结构施加某种分布方式的侧向水平荷载进行 静力弹塑性（pushover）分析获取结构的基底剪力— 顶部位移曲线该曲线称为能力曲线；然后根据原 结构转化成等效单自由度体系（ESDOF）的理论将 该能力曲线二折线后转化为谱加速 度—谱位移 （ Sa—Sd）曲线即能力谱曲线获取原结构对应等 效单自由度体系（ESDOF）的屈服位移和屈服剪力 第31卷 第10期 2009年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．10 Oct．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．10．019
第10期 王树和等：能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ,1219. 同时将弹性设计反应谱也转化为Sa一S:曲线，即需 程函数，1为单位列向量 求谱曲线；将上述能力谱曲线与需求谱曲线画在同 对于一般中低层结构，地震反应中各层侧移形 一坐标系中，通过迭代计算求出两曲线的交点，即性 状以第1振型为主，为此可近似认为： 能点，根据该点坐标可求出原结构的位移反应， u=P1x (2) 在ATC40给出的方法中，需求谱是由等效高 式中，P1为结构第1振型向量，顶层分量取1；x1为 阻尼弹性反应谱得出的，用等效阻尼考虑结构的非 顶层位移 线性特性，经研究发现，在迭代计算求交点的过程 将式(2)代入式(1)，有： 中，有可能无解或多解.Fajfar可和Chopra等] MO+Cf (x)=-Mliia(t)(3) 均指出在能力谱方法中采用弹塑性反应谱比采用等 令 效弹性反应谱具有更明确的概念和更准确的计算结 MP1 果，通过建立单自由度体系强度折减系数R:与延 明n4=音 (4) 性系数“、自振周期T的关系，以弹性反应谱为基 础来建立弹塑性反应谱是重要的方法之一门.国内 D=M MO 为结构第1振型参与系数 外许多学者对弹塑性反应谱进行了研究，提出了不 同的一H一T关系式[8].吕西林等[]结合我国 将式(3)前乘φ1，并将式(4)代入式(3)，有： 现行抗震规范中关于场地类别和设计分组的规定， Me花e十Cete+fe=一Meig(t) (5) 提出了适合我国抗震规范的弹塑性反应谱. 式中，M。、Ce和f。分别为等效SDOF体系的等效 在进行Pushover分析时，一个重要的问题是选 质量、等效阻尼和等效恢复力，用下式表示： 择侧向荷载的分布方式，侧向荷载的分布是反应侧 M。=φMl (6) 向惯性力的相对大小的，而在一次地震反应过程中， MI 侧向惯性力的分布是随着结构各部位不断进入塑性 C。=0iC91pMm1 (7) 而在不断变化的，不论用何种分布方式，都将使得和 f。=pif.(t) (8) 该加载方式相似的振型作用得到加强，而其他振型 式(5)为原结构的等效单自由度体系(ESDOF)· 的作用则被削弱，所以，任何一种荷载分布方式都 只能近似反映地震作用下结构的变形及内力要求， 2能力谱曲线的确定 FEMA3561o规定通过选取多种侧向荷载分布形 能力谱方法即是通过求解式(5)，进而求得原结 式分别进行分析，以模拟实际惯性力的变化，确定地 构地震反应，下面给出求能力谱曲线的步骤， 震反应的可能的变化范围， (l)首先对原结构进行Pushover分析，获得基 在目前的能力谱或改进的能力谱方法中，能力 底剪力一顶部位移关系曲线，在静力弹塑性分析中， 谱曲线的确定是不随侧向荷载分布模式的不同而变 对各楼层施加的侧向水平荷载比例在加载过程中保 化的，本文从等效单自由度体系的建立出发，证明 持不变，到目前为止已提出多种比例关系，或称为加 能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应 载模式，如惯性分布、均匀分布、倒三角分布和曲线 关系，对于不同的侧向荷载模式，应采用不同的能力 分布.对于惯性分布，有： 谱曲线转化公式并给出了具体的表达式，最后，以 S=MP (9) 多层钢筋混凝土框架结构为例，证明了本文方法的 式中，S为各层施加水平荷载列向量，按照式(9)对 正确性 原结构进行Pushover分析，即可得到基底剪力一顶 1由多自由度(MDOF)到等效单自由度体 点位移关系V。一xt曲线，该曲线称为能力曲线 系(ESDOF)的转化 (2)将V,一x1关系曲线理想化为二折线，根据 耗能相等原理，V。一x1关系曲线和二折线与横坐标 多层建筑结构在罕遇地震作用下非线性动力方 所围面积相等，据此可求出二折线中转折点的坐标， 程为： 此点即为原结构名义屈服点(Vby,xy) Mii+cutf,(u)=-Mliig(t) (1) (3)将Vb一x:关系转化为ESDOF体系的能 式中，M、C为结构质量和阻尼矩阵，u、ia和i分别 力谱曲线，由式(9)得： 为各楼层水平位移、速度和加速度列向量，∫，()为 MPi V f:=T (10) 各楼层所受恢复力列向量，(t)为地面加速度时 2M:91:
同时将弹性设计反应谱也转化为Sa—Sd 曲线即需 求谱曲线；将上述能力谱曲线与需求谱曲线画在同 一坐标系中通过迭代计算求出两曲线的交点即性 能点根据该点坐标可求出原结构的位移反应． 在 ATC—40给出的方法中需求谱是由等效高 阻尼弹性反应谱得出的用等效阻尼考虑结构的非 线性特性．经研究发现在迭代计算求交点的过程 中有可能无解或多解［4］．Fajfar ［5］ 和 Chopra 等［6］ 均指出在能力谱方法中采用弹塑性反应谱比采用等 效弹性反应谱具有更明确的概念和更准确的计算结 果．通过建立单自由度体系强度折减系数 Rμ 与延 性系数μ、自振周期 T 的关系以弹性反应谱为基 础来建立弹塑性反应谱是重要的方法之一［7］．国内 外许多学者对弹塑性反应谱进行了研究提出了不 同的 Rμ—μ— T 关系式［8］．吕西林等［9］ 结合我国 现行抗震规范中关于场地类别和设计分组的规定 提出了适合我国抗震规范的弹塑性反应谱． 在进行 Pushover 分析时一个重要的问题是选 择侧向荷载的分布方式．侧向荷载的分布是反应侧 向惯性力的相对大小的而在一次地震反应过程中 侧向惯性力的分布是随着结构各部位不断进入塑性 而在不断变化的不论用何种分布方式都将使得和 该加载方式相似的振型作用得到加强而其他振型 的作用则被削弱．所以任何一种荷载分布方式都 只能近似反映地震作用下结构的变形及内力要求． FEMA—356［10］规定通过选取多种侧向荷载分布形 式分别进行分析以模拟实际惯性力的变化确定地 震反应的可能的变化范围． 在目前的能力谱或改进的能力谱方法中能力 谱曲线的确定是不随侧向荷载分布模式的不同而变 化的．本文从等效单自由度体系的建立出发证明 能力谱曲线的确定与侧向荷载分布模式间存在对应 关系对于不同的侧向荷载模式应采用不同的能力 谱曲线转化公式并给出了具体的表达式．最后以 多层钢筋混凝土框架结构为例证明了本文方法的 正确性． 1 由多自由度（MDOF）到等效单自由度体 系（ESDOF）的转化 多层建筑结构在罕遇地震作用下非线性动力方 程为： M u ··＋C u ·＋ fs（ u）＝— Mlu ·· g（ t） （1） 式中M、C 为结构质量和阻尼矩阵u、u ·和 u ··分别 为各楼层水平位移、速度和加速度列向量fs（ u）为 各楼层所受恢复力列向量u ·· g （ t）为地面加速度时 程函数l 为单位列向量． 对于一般中低层结构地震反应中各层侧移形 状以第1振型为主为此可近似认为： u＝φ1xt （2） 式中φ1 为结构第1振型向量顶层分量取1；xt 为 顶层位移． 将式（2）代入式（1）有： Mφ1x ·· t＋Cφ1x · t＋ fs（ xt）＝— Mlu ·· g（ t） （3） 令 xe＝ φ T 1 Mφ1 φ T 1 Ml xt＝ xt Γ1 （4） Γ1＝ φ T 1 Ml φ T 1 Mφ1 为结构第1振型参与系数． 将式（3）前乘 φ T 1并将式（4）代入式（3）有： Me x ·· e＋Ce x · e＋ f e＝— Me u ·· g（ t） （5） 式中Me、Ce 和 f e 分别为等效 SDOF 体系的等效 质量、等效阻尼和等效恢复力用下式表示： Me＝φ T 1 Ml （6） Ce＝φ T 1 Cφ1 φ T 1 Ml φ T 1 Mφ1 （7） f e＝φ T 1 fs（ t） （8） 式（5）为原结构的等效单自由度体系（ESDOF）． 2 能力谱曲线的确定 能力谱方法即是通过求解式（5）进而求得原结 构地震反应．下面给出求能力谱曲线的步骤． （1） 首先对原结构进行 Pushover 分析获得基 底剪力—顶部位移关系曲线在静力弹塑性分析中 对各楼层施加的侧向水平荷载比例在加载过程中保 持不变到目前为止已提出多种比例关系或称为加 载模式如惯性分布、均匀分布、倒三角分布和曲线 分布．对于惯性分布有： S＝ Mφ1 （9） 式中S 为各层施加水平荷载列向量．按照式（9）对 原结构进行 Pushover 分析即可得到基底剪力—顶 点位移关系 V b— xt 曲线该曲线称为能力曲线． （2） 将 V b— xt 关系曲线理想化为二折线根据 耗能相等原理V b— xt 关系曲线和二折线与横坐标 所围面积相等据此可求出二折线中转折点的坐标 此点即为原结构名义屈服点（ V b yxt y）． （3） 将 V b— xt 关系转化为 ESDOF 体系的能 力谱曲线．由式（9）得： f i＝ Miφ1i ∑Miφ1i V b （10） 第10期 王树和等： 能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ·1219·
.1220 北京科技大学学报 第31卷 将式(10)代入式(8)，有： 可得到相应能力谱曲线Sa的转化公式， 倒三角分布方式： f.=if= ∑M,9 11) S.= ∑Mh9V M。∑Mh: (18) 则谱加速度为： 5=TM:加i 均布方式： (12) M1为第1振型有效质量，由式(4)，谱位移为： S= MVe Me∑M:' (19) 5。=。=骨- (13) 曲线分布方式： 式中，91为第1振型顶点位移分量，以(Sa,S)为 S= M9: 坐标所构成的曲线即为能力谱曲线，原结构名义屈 Me∑M,h店' (20) 服点(Vby,xy)转化为能力谱后的屈服点坐标为： Sa仍按式(13)不变. s,-wy总 这样，根据侧向荷载的不同分布，由于S。的表 X (14) 达式不同，将会有不同的能力谱曲线，从而导致不同 的地震反应计算结果，为验证本文所提方法（后面 3确定能力谱曲线方法的改进 称为本文方法)的正确性，下面采用算例进行了具体 从上述公式推导中看到，式(12)是和式(9)即侧 的计算分析 向荷载分布方式相关的，对于不同的侧向荷载分布 4算例与分析 方式，能力谱曲线各点纵坐标谱加速度S。的确定 方法是不同的，在以往的研究中（后面称为传统方 4.1结构参数与分析模型 法)，并没有考虑这一问题，而把不同侧向荷载分布 按照我国现行抗震规范设计了一个六层钢筋混 方式所得能力曲线都按式(12)来求能力谱曲线各点 凝土框架结构，分别采用传统方法和本文方法推求 纵坐标，这从结构动力学上是前后不协调的，应 能力谱曲线，以弹塑性需求谱为需求曲线，进行静力 用式(12)的前提是侧向荷载分布模式为式(9)，即按 弹塑性分析，其结果通过与弹塑性时程分析方法计 惯性分布，如果在Pushover分析中采用其他侧向荷 算结果的比较，以证明本文方法的正确性， 载分布模式，而仍按式(9)将能力曲线转换为能力谱 结构平面布置如图1所示，横向三跨，分别为 曲线，将会产生误差.下面对于不同侧向荷载分布 6、2.4和6m,层高均为3.3m,所有柱截面尺寸 方式，推导了相应的转化公式， 400mm×400mm,横梁截面尺寸250mm×500mm, (1)倒三角分布方式. 纵梁截面尺寸250mm×400mm,楼板厚120mm,无 填充墙，楼面恒载取4.0kN·m-2,活载2.0kN· M:h (15) m2,抗震设防烈度7度，二类场地，设计分组为第2 组，混凝土为C30,梁柱纵向钢筋为HRB335,箍筋 式中，h:为第i层层高 为HPB235,取横向中间四轴一榀框架进行计算，立 (2)均布方式. 面及梁柱端部配筋情况如图2所示· Mi Vo f>M: (16) (3)曲线分布方式， 000 Mh f∑MV 8 1.0 t<0.5s k1.0+50 60.5s≤t≤2.5s(17) 480048004800480048004800 28800 ⑥ 2 t≥2.5s 按照类似式(11)、式(12)的推导过程，将式 图1框架平面图 (15)~(17)分别代入式(8)，再按照式(12)的方法， Fig.1 Plan of the frame
将式（10）代入式（8）有： f e＝φ T 1 f＝ ∑Miφ2 1i ∑Miφ1i V b＝ V b Γ1 （11） 则谱加速度为： Sa＝ f e Me ＝ V b Γ1Me ＝ V b M ∗ 1 （12） M ∗ 1 为第1振型有效质量．由式（4）谱位移为： Sd＝ xe＝ x1 Γ1 ＝ xt Γ1φr1 （13） 式中φr1为第1振型顶点位移分量．以（ SaSd）为 坐标所构成的曲线即为能力谱曲线．原结构名义屈 服点（ V b yxt y）转化为能力谱后的屈服点坐标为： Sa y＝ V b y M ∗ 1 Sd y＝ xt y Γ1φr1 （14） 3 确定能力谱曲线方法的改进 从上述公式推导中看到式（12）是和式（9）即侧 向荷载分布方式相关的对于不同的侧向荷载分布 方式能力谱曲线各点纵坐标谱加速度 Sa 的确定 方法是不同的在以往的研究中（后面称为传统方 法）并没有考虑这一问题而把不同侧向荷载分布 方式所得能力曲线都按式（12）来求能力谱曲线各点 纵坐标［6］这从结构动力学上是前后不协调的．应 用式（12）的前提是侧向荷载分布模式为式（9）即按 惯性分布如果在 Pushover 分析中采用其他侧向荷 载分布模式而仍按式（9）将能力曲线转换为能力谱 曲线将会产生误差．下面对于不同侧向荷载分布 方式推导了相应的转化公式． （1） 倒三角分布方式． f i＝ Mihi ∑Mihi V b （15） 式中hi 为第 i 层层高． （2） 均布方式． f i＝ Mi ∑Mi V b （16） （3） 曲线分布方式． f i＝ Mih k i ∑Mih k i V b k＝ 1∙0 t＜0∙5s 1∙0＋ T—0∙5 2∙5—0∙5 0∙5s≤t≤2∙5s 2 t≥2∙5s （17） 按照类似式（11）、式（12） 的推导过程将式 （15）～（17）分别代入式（8）再按照式（12）的方法 可得到相应能力谱曲线 Sa 的转化公式． 倒三角分布方式： Sa＝ ∑Mihiφ1i Me∑Mihi V b （18） 均布方式： Sa＝ ∑Miφ1i Me∑Mi V b （19） 曲线分布方式： Sa＝ ∑Mih k iφ1i Me∑Mih k i V b （20） Sd 仍按式（13）不变． 这样根据侧向荷载的不同分布由于 Sa 的表 达式不同将会有不同的能力谱曲线从而导致不同 的地震反应计算结果．为验证本文所提方法（后面 称为本文方法）的正确性下面采用算例进行了具体 的计算分析． 4 算例与分析 图1 框架平面图 Fig．1 Plan of the frame 4∙1 结构参数与分析模型 按照我国现行抗震规范设计了一个六层钢筋混 凝土框架结构分别采用传统方法和本文方法推求 能力谱曲线以弹塑性需求谱为需求曲线进行静力 弹塑性分析其结果通过与弹塑性时程分析方法计 算结果的比较以证明本文方法的正确性． 结构平面布置如图1所示横向三跨分别为 6、2∙4和6m层高均为3∙3m所有柱截面尺寸 400mm×400mm横梁截面尺寸250mm×500mm 纵梁截面尺寸250mm×400mm楼板厚120mm无 填充墙楼面恒载取4∙0kN·m —2活载2∙0kN· m —2抗震设防烈度7度二类场地设计分组为第2 组混凝土为 C30梁柱纵向钢筋为 HRB335箍筋 为 HPB235取横向中间四轴一榀框架进行计算立 面及梁柱端部配筋情况如图2所示． ·1220· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第10期 王树和等：能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ,1221 4虫12 2空18+1虫14 (3虫16) 中8@100 中8@100 ■中3坐16 400 2504 框架柱 框架梁 (括号中为46层数据) L600024006000 (a) (b) 图2框架立面(a)及梁柱详图(b) Fig.2 Elevation of the frame (a)and detail of columns and beams (b) 计算采用非线性分析通用程序IDARC一2D 回模型采用三参数Park模型，选取适合二类场地的 V6.0山，梁柱塑性铰设置于杆件两端，采用分布塑 El Centro波、Taft波和一条人工波作为地震动输 性即考虑塑性铰长度，以更好模拟混凝土结构的实 入，按照抗震规范，7度设防烈度罕遇地震峰值加速 际情况，杆单元考虑了梁柱结点刚性区域的影响， 度调为0.22g,表1给出了结构前三阶振型的动力 梁单元考虑了楼板的影响，忽略P一△效应，梁柱滞 参数 表1六层钢筋混凝土结构的动力参数 Table 1 Dynamic characteristics of the six-story RC frame 质量参与 各楼层对应振型分量 振型 周期/s 系数 1 4 6 1 1.042 0.851 0.206 0.430 0.632 0.800 0.925 1.000 2 0.341 0.100 0.624 1.000 0.864 0.292 -0.439 -0.994 3 0.197 0.030 0.906 0.740 -0.382 -1.000 -0.314 0.881 4.2计算结果与分析 分别采用倒三角模式（式(15）)、均布模式 ◆一传统方法 (式(16)和曲线分布模式（式(17）)的侧向荷载，在 ■一本文方法 ▲一时程分析 施加重力荷载的同时，对上述结构进行静力弹塑性 分析(Pushover分析)，计算过程采用力的控制，侧向 荷载的合力从零加载至0.2倍结构自重为止，获取 相应的能力曲线（即基底剪力一顶点位移曲线），对 每条能力曲线分别采用传统方法（式(12）)和本文方 法（式(18）~式(20)来计算能力谱曲线中每一点的 20 4060 80100 纵坐标一谱加速度S。,而横坐标一谱位移S 楼层位移mm 统一采用式(13)，采用文献[9]中的弹塑性需求谱， 图3均匀分布模式下的楼层位移 用改进的能力谱方法(ICSM)计算出了每种工况下 Fig.3 Story displacement for the uniform mode 的楼层侧向位移.同时，为了验证本文方法的正确 表2各种工况下顶部位移计算结果 性，采用弹塑性动力时程分析（具体输入地震动见上 Table 2 Top displacement for all the cases mm 面所述)对该结构进行了计算，也求出了楼层侧向位 方法 均布模式倒三角模式曲线模式时程分析 移.计算结果如图3~图5所示，图6、图7分别为 传统方法 63.76 70.73 70.54 79.65 三种荷载模式在传统方法和本文方法下楼层位移结 本文方法 68.83 71.43 72.22 79.65 果的比较.表2给出了各种工况下结构顶部位移的 计算数值 从图3~图5及表2看到：对于倒三角和曲线
图2 框架立面（a）及梁柱详图（b） Fig．2 Elevation of the frame （a） and detail of columns and beams （b） 计算采用非线性分析通用程序 IDARC—2D V6∙0［11］梁柱塑性铰设置于杆件两端采用分布塑 性即考虑塑性铰长度以更好模拟混凝土结构的实 际情况．杆单元考虑了梁柱结点刚性区域的影响 梁单元考虑了楼板的影响忽略 P—Δ效应．梁柱滞 回模型采用三参数 Park 模型选取适合二类场地的 El Centro 波、Taft 波和一条人工波作为地震动输 入按照抗震规范7度设防烈度罕遇地震峰值加速 度调为0∙22g．表1给出了结构前三阶振型的动力 参数． 表1 六层钢筋混凝土结构的动力参数 Table1 Dynamic characteristics of the six-story RC frame 振型 周期／s 质量参与 系数 各楼层对应振型分量 1 2 3 4 5 6 1 1∙042 0∙851 0∙206 0∙430 0∙632 0∙800 0∙925 1∙000 2 0∙341 0∙100 0∙624 1∙000 0∙864 0∙292 —0∙439 —0∙994 3 0∙197 0∙030 0∙906 0∙740 —0∙382 —1∙000 —0∙314 0∙881 4∙2 计算结果与分析 分别采 用 倒 三 角 模 式 （式 （15））、均 布 模 式 （式（16））和曲线分布模式（式（17））的侧向荷载在 施加重力荷载的同时对上述结构进行静力弹塑性 分析（Pushover 分析）计算过程采用力的控制侧向 荷载的合力从零加载至0∙2倍结构自重为止获取 相应的能力曲线（即基底剪力—顶点位移曲线）．对 每条能力曲线分别采用传统方法（式（12））和本文方 法（式（18）～式（20））来计算能力谱曲线中每一点的 纵坐标———谱加速度 Sa而横坐标———谱位移 Sd 统一采用式（13）．采用文献［9］中的弹塑性需求谱 用改进的能力谱方法（ICSM）计算出了每种工况下 的楼层侧向位移．同时为了验证本文方法的正确 性采用弹塑性动力时程分析（具体输入地震动见上 面所述）对该结构进行了计算也求出了楼层侧向位 移．计算结果如图3～图5所示图6、图7分别为 三种荷载模式在传统方法和本文方法下楼层位移结 果的比较．表2给出了各种工况下结构顶部位移的 计算数值． 图3 均匀分布模式下的楼层位移 Fig．3 Story displacement for the uniform mode 表2 各种工况下顶部位移计算结果 Table2 Top displacement for all the cases mm 方法 均布模式 倒三角模式 曲线模式 时程分析 传统方法 63∙76 70∙73 70∙54 79∙65 本文方法 68∙83 71∙43 72∙22 79∙65 从图3～图5及表2看到：对于倒三角和曲线 第10期 王树和等： 能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ·1221·
,1222 北京科技大学学报 第31卷 > ◆一传统方法 6 ■一本文方法 ▲一时程分析 5 4 3 2 2 ◆一均匀分布，本文方法 ■曲线分布，本文方法 倒三角分布，本文方法 日一时程分析 0 20 4060 80100 20 40 60 80 100 楼层位移/mm 楼层位移mm 图4曲线分布模式下的楼层位移 图7本文方法下的楼层位移 Fig.4 Story displacement for the curve mode Fig.7 Story displacement for the proposed method 从图6、图7看到，三种荷载模式下，不论本文 方法还是传统方法所得楼层位移都较为接近，说明 6 ,传统方法 ■一本文方法 对于中低层结构，侧向荷载模式对等效单自由度体 ★一时程分析 系特性影响较小，这与文献[12]的结论是相同的 另外，不论传统方法还是本文方法，倒三角与曲线分 布计算结果较为接近，并且较均布模式更接近时程 2 分析结果.主要原因是本结构为中低层结构，结构 振动以第1阶模态为主，而倒三角和曲线分布更接 20 40 60 80 100 近第1阶模态下的惯性力分布情况 楼层位移mm 本文前面指出，采用多种模式进行Pushover分 析的目的是为了获得真实地震反应可能的范围，避 图5倒三角分布模式下的楼层位移 Fig.5 Story displacement for the invert triangular mode 免单一模式带来的偏差.从图6可知，均布模式较 另两种模式楼层位移有明显偏差：而图7利用本文 方法后，这种偏差明显减小了，即缩小了真实反应的 界定范围，这样就能使人们把握实际地震反应大小 的准确性得以提高， 按照以往的研究，将能力谱方法与弹塑性时程 都 分析的偏差主要归因于高阶模态的影响，但从上述 分析看到，能力谱曲线谱加速度S。的计算方法在 2 ◆一均匀分布，传统方法 ■一曲线分布，传统方法 理论上的不足也是导致最后结果偏差的一个原因. 查一倒三角分布，传统方法 ©一时程分析 更为重要的是，认为结构的变形保持第1阶振型而 20 40 60 80 100 忽略高阶模态的影响这一偏差与能力谱曲线谱加速 楼层位移mm 度S。的计算方法在理论上的偏差共同存在于S。 和S的计算公式中，它们互相影响，使误差更大， 图6传统方法下的楼层位移 Fig6 Story displacement for the traditional method 这一结论与文献[13]的结论是相似的，本文算例为 中低层结构，图6、图7间这一误差还不是很大； 分布模式来说，在下部楼层，本文方法与传统方法计 对于中高层结构，或竖向不规则结构，高阶模态对计 算结果非常接近，在上部楼层，尤其在顶层，本文方 算结果的影响较为显著，新旧两种方法将会出现更 法更接近于时程分析结果，说明本文所提方法更加 大偏差.如果在计算S。时，采用本文方法，不但S。 精确；而对于均布模式来说，所有楼层的计算结果均 的计算更为准确，同时也必会显著降低忽略高阶模 表明，本文方法更接近时程分析结果，同样说明本文 态所引起的误差，另外，本文方法概念清晰，在提高 方法有更高的精度 计算精度的同时，不会增加任何计算量
图4 曲线分布模式下的楼层位移 Fig．4 Story displacement for the curve mode 图5 倒三角分布模式下的楼层位移 Fig．5 Story displacement for the invert triangular mode 图6 传统方法下的楼层位移 Fig．6 Story displacement for the traditional method 分布模式来说在下部楼层本文方法与传统方法计 算结果非常接近在上部楼层尤其在顶层本文方 法更接近于时程分析结果说明本文所提方法更加 精确；而对于均布模式来说所有楼层的计算结果均 表明本文方法更接近时程分析结果同样说明本文 方法有更高的精度． 图7 本文方法下的楼层位移 Fig．7 Story displacement for the proposed method 从图6、图7看到三种荷载模式下不论本文 方法还是传统方法所得楼层位移都较为接近说明 对于中低层结构侧向荷载模式对等效单自由度体 系特性影响较小这与文献［12］的结论是相同的． 另外不论传统方法还是本文方法倒三角与曲线分 布计算结果较为接近并且较均布模式更接近时程 分析结果．主要原因是本结构为中低层结构结构 振动以第1阶模态为主而倒三角和曲线分布更接 近第1阶模态下的惯性力分布情况． 本文前面指出采用多种模式进行 Pushover 分 析的目的是为了获得真实地震反应可能的范围避 免单一模式带来的偏差．从图6可知均布模式较 另两种模式楼层位移有明显偏差；而图7利用本文 方法后这种偏差明显减小了即缩小了真实反应的 界定范围这样就能使人们把握实际地震反应大小 的准确性得以提高． 按照以往的研究将能力谱方法与弹塑性时程 分析的偏差主要归因于高阶模态的影响．但从上述 分析看到能力谱曲线谱加速度 Sa 的计算方法在 理论上的不足也是导致最后结果偏差的一个原因． 更为重要的是认为结构的变形保持第1阶振型而 忽略高阶模态的影响这一偏差与能力谱曲线谱加速 度 Sa 的计算方法在理论上的偏差共同存在于 Sa 和 Sd 的计算公式中它们互相影响使误差更大． 这一结论与文献［13］的结论是相似的．本文算例为 一中低层结构图6、图7间这一误差还不是很大； 对于中高层结构或竖向不规则结构高阶模态对计 算结果的影响较为显著新旧两种方法将会出现更 大偏差．如果在计算 Sa 时采用本文方法不但 Sa 的计算更为准确同时也必会显著降低忽略高阶模 态所引起的误差．另外本文方法概念清晰在提高 计算精度的同时不会增加任何计算量． ·1222· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第10期 王树和等：能力谱与侧向荷载分布模式的关系 .1223, 5结论 [3]NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings- Washington D C:Federal Emergency Management Agency, 本文提出了能力谱曲线计算的新方法，与传统 1997,FEMA273 [4]Lee D G.Choi W H.Cheong M C.et al.Evaluation of seismic 方法相比，其特点是能力谱曲线各点纵坐标，即谱加 performance of multistory building structures based on the equiva- 速度S。根据结构所受侧向荷载的不同分布模式而 lent responses.Eng Struct.2006,28(2):837 采用不同的计算公式，这些公式是按照结构动力学 [5]Fajfar P.Capacity spectrum method based on inelastic demand 原理，从结构动力微分方程入手，根据侧向荷载的不 spectra.Earthquake Eng Struct Dyn.1999.28(4):970 同分布，逐步推导出来的：因此，本文方法体现了荷 [6]Chopra A K,Rakesh K G.Capacity-demand-diagram Methods 载模式与能力谱之间在理论上的因果关系，比传统 for Estimating Seismic Deformation of Inelastic Structures: SDF systems.UCB:PEER.1999.PEER 1999/02 方法更具有理论上的协调性，为验证本文方法的正 [7]Wang W.Sun J J.Estimation of displacement response based on 确性，按照我国现行抗震规范设计了一个六层钢筋 improved capacity spectrum method.Earthquake EngEng Vib, 混凝土框架结构，分别采用本文方法和传统方法对 2003,23(6):37 其进行静力弹塑性分析，侧向荷载分布采用常用的 (王威，孙景江·基于改进能力谱方法的位移反应估计，地震 倒三角模式、曲线模式和均布模式，并对该结构采用 工程与工程振动，2003,23(6)：37) [8]Miranda E,Bertero V,Eeri M.Evaluation of strength reduction 弹塑性动力时程进行了分析，根据楼层侧向位移的 factors for earthquake resistant design.Earthquake Spectra. 对比分析，证明了本文方法更加精确，误差更小，利 1994,10(2):357 用本文方法，采用多种侧向荷载模式对结构进行 [9]Lu X L,Zhou D S.Ductility demand spectra and inelastic dis- Pushover分析，能将真实解的可能范围限定得更小， placement spectra considering soil conditions and design character 使人们把握实际地震反应大小的准确性得以提高 istic periods.Earthquake EngEng Vib,2004.24(1):39 (吕西林，周定松，考虑场地类别与设计分组的延性需求谱和 同时指出，能力谱方法的误差除了高阶模态的影响， 弹塑性位移反应谱.地震工程与工程振动，2004,24(1)：39) 还有能力谱曲线确定方法上的缺陷，二者会相互影 [10]Prestandard and Commentary for Seismic Rehabilitation of 响，使误差更大·本文方法概念清晰，在提高计算精 Buildings.Washington D C:Federal Emergency Management 度的同时，不会增加任何计算量， Agency.2000.FEMA-356 [11]Valles R E.Reinhorn A M.Kunnath S K C.et al.IDARC 2D 参考文献 Version 4.0:A Program for the Inelastic Damage Analysis of [1]Wang Y Y.Review of the basic problem of 2000 Chinese seismie Buildings-NY:NCEER,1996,NCEER-96-0010 design modal code.J Build Struct.2000.21(1):2 [12]Lee DG.Accurate and Simplified Models for Seismic Response (王亚勇·我国2000年工程抗震设计模式规范基本问题研究 Prediction of Steel Frame Structures [Dissertation].California: 综述.建筑结构学报，2000,21(1)：2) Stanford University,1984 [2]ATC.Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. [13]Sun JJ.Tetsuro O.Zhao Y C,et al.Lateral load pattern in Redwood City (CA):Applied Technology Council.1996 pushover analysis.Earthquake Eng Eng Vib.2003.2(1):99
5 结论 本文提出了能力谱曲线计算的新方法与传统 方法相比其特点是能力谱曲线各点纵坐标即谱加 速度 Sa 根据结构所受侧向荷载的不同分布模式而 采用不同的计算公式这些公式是按照结构动力学 原理从结构动力微分方程入手根据侧向荷载的不 同分布逐步推导出来的；因此本文方法体现了荷 载模式与能力谱之间在理论上的因果关系比传统 方法更具有理论上的协调性．为验证本文方法的正 确性按照我国现行抗震规范设计了一个六层钢筋 混凝土框架结构分别采用本文方法和传统方法对 其进行静力弹塑性分析侧向荷载分布采用常用的 倒三角模式、曲线模式和均布模式并对该结构采用 弹塑性动力时程进行了分析．根据楼层侧向位移的 对比分析证明了本文方法更加精确误差更小．利 用本文方法采用多种侧向荷载模式对结构进行 Pushover 分析能将真实解的可能范围限定得更小 使人们把握实际地震反应大小的准确性得以提高． 同时指出能力谱方法的误差除了高阶模态的影响 还有能力谱曲线确定方法上的缺陷二者会相互影 响使误差更大．本文方法概念清晰在提高计算精 度的同时不会增加任何计算量． 参 考 文 献 ［1］ Wang Y Y．Review of the basic problem of 2000Chinese seismic design modal code．J Build Struct200021（1）：2 （王亚勇．我国2000年工程抗震设计模式规范基本问题研究 综述．建筑结构学报200021（1）：2） ［2］ ATC．Seismic Ev aluation and Retrofit of Concrete Buildings． Redwood City （CA）：Applied Technology Council1996 ［3］ NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings． Washington D C： Federal Emergency Management Agency 1997FEMA273 ［4］ Lee D GChoi W HCheong M Cet al．Evaluation of seismic performance of multistory building structures based on the equivalent responses．Eng Struct200628（2）：837 ［5］ Fajfar P．Capacity spectrum method based on inelastic demand spectra．Earthquake Eng Struct Dyn199928（4）：970 ［6］ Chopra A KRakesh K G．Capacity-demand-diagram Methods for Estimating Seismic Deformation of Inelastic Structures： SDF systems．UCB：PEER1999PEER1999／02 ［7］ Wang WSun J J．Estimation of displacement response based on improved capacity spectrum method．Earthquake Eng Eng V ib 200323（6）：37 （王威孙景江．基于改进能力谱方法的位移反应估计．地震 工程与工程振动200323（6）：37） ［8］ Miranda EBertero VEeri M．Evaluation of strength reduction factors for earthquake resistant design． Earthquake Spectra 199410（2）：357 ［9］ Lu X LZhou D S．Ductility demand spectra and inelastic displacement spectra considering soil conditions and design characteristic periods．Earthquake Eng Eng V ib200424（1）：39 （吕西林周定松．考虑场地类别与设计分组的延性需求谱和 弹塑性位移反应谱．地震工程与工程振动200424（1）：39） ［10］ Prestandard and Commentary for Seismic Rehabilitation of Buildings．Washington D C：Federal Emergency Management Agency2000FEMA-356 ［11］ Valles R EReinhorn A MKunnath S K Cet al．IDARC2D Version4∙0：A Program for the Inelastic Damage A nalysis of Buildings．NY：NCEER1996NCEER-96-0010 ［12］ Lee D G．Accurate and Simplified Models for Seismic Response Prediction of Steel Frame Structures ［Dissertation］．California： Stanford University1984 ［13］ Sun J JTetsuro OZhao Y Get al．Lateral load pattern in pushover analysis．Earthquake Eng Eng V ib20032（1）：99 第10期 王树和等： 能力谱与侧向荷载分布模式的关系 ·1223·
