混合时变时滞神经网络的状态估计器设计.pdf_大学文库

D0L:10.13374.issn1001-053x.2012.07.019 第34卷第7期北京科技大学学报 Vol.34 No.7 2012年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2012 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计张蕾”四刘贺平) 王健安》 1)上海海洋大学信息学院，上海2013062)北京科技大学自动化学院，北京1000833)太原科技大学电子信息工程学院，太原030024 ☒通信作者，E-mail:Izhang(@shou.edu.cn 摘要研究了混合时变时滞（离散时滞和分布时滞）神经网络的状态估计问题。离散时滞在一个区间上变化，区间下界不一定为零.通过构造一个新的Lyapunov泛函，结合Jensen积分不等式，可以得到一个时滞相关状态估计器设计方法，使得误差系统是全局渐近稳定的，所得结果由线性矩阵不等式形式给出.数值算例证明了本文方法的有效性和优越性. 关键词状态估计：时变网络：时滞：神经网络：线性矩阵不等式(LM):yapunov函数分类号TP273 Design of state estimators for neural networks with mixed time-varying delays ZHANG Lei☒，U He-ping》,WANG Jian--an》 1)College of Information Technology,Shanghai Ocean University,Shanghai 201306,China 2)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)School of Electronics Information Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China Corresponding author,E-mail:Izhang@shou.edu.cn ABSTRACT The state estimation problem was studied for neural networks with mixed discrete and distributed time-varying delays as well as general activation functions.The discrete time-varying delay varies in an interval,where the lower bound is not fixed to be zero. Defining a novel Lyapunov functional and using the Jensen integral inequality,a delay-interval-dependent criterion is provided to design a state estimator through available output measurements in terms of a linear matrix inequality (LMI),such that the error-state system is globally asymptotically stable.A numerical example was given to illustrate that this result is more effective and less conservative than some existing ones KEY WORDS state estimation:time-varying networks;delays:neural networks;linear matrix inequalities:Lyapunov functions 近年来，神经网络引起了众多学者的关注，原因等式形式给出的，但不是线性矩阵不等式.文献9一在于神经网络在各方面的广泛应用，如信号处理、模 12]研究了混合时滞神经网络的状态估计问题：文式识别、静态图像处理和最优化问题方面习.在其献9]是常数时滞：文献01一12]虽是时变时滞，但信息存储和传输过程中不可避免地会产生时滞，因离散时滞要求可微且下界为零：文献0]利用自由此时滞神经网络的稳定性问题受到了广大学者的关权矩阵方法研究了混合时变时滞神经网络的状态估注B.然而，通常情况下，神经元的状态在实际应计问题.但是，过多自由权矩阵的引入势必会增加用中并不能全部获得，因此神经网络的状态估计问决策变量的个数，使得结果过于烦琐繁琐.因此，文题就变得非常必要.2005年，文献7]首次提出时献0]的结果还有进一步改进的空间. 滞神经网络的状态估计问题，该问题迅速成为了研本文研究了具有时变离散时滞和分布时滞的神究热点并取得一定的成果-口经网络状态估计器设计问题.离散时滞在一个下界文献]研究的是时变时滞神经网络的时滞无不一定为零的区间内变化.通过定义新的Lyapunov 关的状态估计问题.文献8]研究了时滞神经网络泛函，结合Jensen积分不等式，得到误差系统全局的时滞相关状态估计问题，得到的结果是以矩阵不渐近稳定的时滞相关稳定性判据，并且可获得系统收稿日期：201105-20 基金项目：上海海洋大学博士启动基金项目(A-2400-110213)

第 34 卷第 7 期 2012 年 7 月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 7 Jul． 2012 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计张蕾1) 刘贺平2) 王健安3) 1) 上海海洋大学信息学院，上海 201306 2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 3) 太原科技大学电子信息工程学院，太原 030024 通信作者，E-mail: lzhang@ shou． edu． cn 摘要研究了混合时变时滞( 离散时滞和分布时滞) 神经网络的状态估计问题．离散时滞在一个区间上变化，区间下界不一定为零．通过构造一个新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，可以得到一个时滞相关状态估计器设计方法，使得误差系统是全局渐近稳定的，所得结果由线性矩阵不等式形式给出．数值算例证明了本文方法的有效性和优越性．关键词状态估计; 时变网络; 时滞; 神经网络; 线性矩阵不等式( LMI) ; Lyapunov 函数分类号 TP273 Design of state estimators for neural networks with mixed time-varying delays ZHANG Lei 1) ，LIU He-ping2) ，WANG Jian-an3) 1) College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China 2) School of Automation and Electrical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 3) School of Electronics Information Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China Corresponding author，E-mail: lzhang@ shou． edu． cn ABSTRACT The state estimation problem was studied for neural networks with mixed discrete and distributed time-varying delays as well as general activation functions． The discrete time-varying delay varies in an interval，where the lower bound is not fixed to be zero． Defining a novel Lyapunov functional and using the Jensen integral inequality，a delay-interval-dependent criterion is provided to design a state estimator through available output measurements in terms of a linear matrix inequality ( LMI) ，such that the error-state system is globally asymptotically stable． A numerical example was given to illustrate that this result is more effective and less conservative than some existing ones． KEY WORDS state estimation; time-varying networks; delays; neural networks; linear matrix inequalities; Lyapunov functions 收稿日期: 2011--05--20 基金项目: 上海海洋大学博士启动基金项目( A--2400--11--0213) 近年来，神经网络引起了众多学者的关注，原因在于神经网络在各方面的广泛应用，如信号处理、模式识别、静态图像处理和最优化问题方面［1--2］．在其信息存储和传输过程中不可避免地会产生时滞，因此时滞神经网络的稳定性问题受到了广大学者的关注［3--6］．然而，通常情况下，神经元的状态在实际应用中并不能全部获得，因此神经网络的状态估计问题就变得非常必要． 2005 年，文献［7］首次提出时滞神经网络的状态估计问题，该问题迅速成为了研究热点并取得一定的成果［7--12］．文献［7］研究的是时变时滞神经网络的时滞无关的状态估计问题．文献［8］研究了时滞神经网络的时滞相关状态估计问题，得到的结果是以矩阵不等式形式给出的，但不是线性矩阵不等式．文献［9-- 12］研究了混合时滞神经网络的状态估计问题: 文献［9］是常数时滞; 文献［11--12］虽是时变时滞，但离散时滞要求可微且下界为零; 文献［10］利用自由权矩阵方法研究了混合时变时滞神经网络的状态估计问题．但是，过多自由权矩阵的引入势必会增加决策变量的个数，使得结果过于烦琐繁琐．因此，文献［10］的结果还有进一步改进的空间．本文研究了具有时变离散时滞和分布时滞的神经网络状态估计器设计问题．离散时滞在一个下界不一定为零的区间内变化．通过定义新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，得到误差系统全局渐近稳定的时滞相关稳定性判据，并且可获得系统 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.07.019

北京科技大学学报第 34 卷状态估计器的设计方法．所得结果完全由线性矩阵不等式( LMI) 给出．数值算例可以表明本文的方法比文献［10］具有优越性．本文中，A ＜ 0 表示 A 为负定矩阵; A C *[ ] B 表示对称矩阵 A C C[ ] T B ，λmax ( A) 表示对称矩阵 A 的最大特征值． 1 问题描述考虑如下时滞不确定离散时间系统 x ·( t) = － Ax( t) + B0 g( x( t) ) + B1 g( x( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x( s) ) ds + J． ( 1) 式中: x ( t) = ［x1 ( t) ，x2 ( t) ，…，xn ( t) ］T ∈Rn 为含有 n 个神经元的状态向量; 对角矩阵 A = diag{ a1， a2，…，an } 为状态反馈系数矩阵，其中 ai ＞ 0; 矩阵 B0、B1 和 B2 分别代表连接权矩阵、离散时滞连接权矩阵和分布时滞连接权矩阵; J = ( J1，J2，…，Jn ) T 是外部输入; g( x( t) ) =［g1 ( x1 ( t) ) ，g2 ( x2 ( t) ) ，…， gn ( xn ( t) ) ］T 为激活函数; τ( t) 和 σ( t) 分别为离散时变时滞和分布时变时滞，并满足 0≤τm≤τ( t) ≤τM， ( 2) 0≤σ( t) ≤σM ． ( 3) 其中 τm、τM 和 σM 均为常数．假设 1 对任意的 i∈{ 1，2，…，n} ，激活函数 gi (·) 满足如下条件: l － i ≤gi ( s1 ) － gi ( s2 ) s1 － s2 ≤l + i ，s1，s2∈R． ( 4) 其中，l － i 和 l + i 为已知常数矩阵．注 1 这里 l － i 和 l + i 可取为正数、负数或者零．显然，gi (·) 是全局 Lipschitz 连续的．激活函数可以是非单调的，比常见的双曲函数和一般 Lipschitz 条件更具有一般性．同时，激活函数可以是非可微和无界的．本文的目的是根据已知的网络输出设计一个有效的估计器来观察神经元的状态．因此，假设测量输出为 y( t) = Cx( t) + Df( t，x( t) ) ． ( 5) 其中，y( k) ∈Rm 是测量输出，C∈Rm × n ，D∈Rm × m为适维的常数矩阵． f: R × Rn →Rm 是加在网络输出端的与神经网络有关的非线性扰动，并满足( j = 1，2， …，m) ν － j ≤fj ( s1，x( s1 ) ) － fj ( s2，x( s2 ) ) x( s1 ) － x( s2 ) ≤ν + j ， s1，s2∈R． ( 6) 其中，ν － j 和 ν + j 为已知常数．全维状态估计器具有如下形式: x^ · ( t) = － Ax^( t) + B0 g( x^( t) ) + B1 g( x^( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x^( s) ) ds + J + K( y( t) － Cx^( t) － Df( t，x^( t) ) ) ． ( 7) 其中，x^( t) 神经网络状态估计，K∈Rn × m为设计的估计器增益矩阵．定义误差状态为: e( t) = x( t) － x^( t) ． ( 8) 从而，由式( 1) 、( 5) 和( 7) 可得误差状态系统为 e ·( t) = － ( A + KC) e( t) + B0( t) + B1( t － τ( t) ) + B2 ∫ t t－σ( t) ( s) ds － KDψ( t) ． ( 9) 其中，( t) = g ( x ( t) ) － g ( x^ ( t) ) ，ψ( t) = f( t， x( t) ) － f( t，x^( t) ) ．引理 1 ［13］( Jensen 积分不等式) 对于任意正定矩阵 M∈Rn × n ，标量 0≤r1≤r2 和向量函数 v: ［r1， r2］→Rn ，则有下列不等式成立 ( : ∫ r2 r1 v( s) d ) s T M ( ∫ r2 r1 v( s) d ) s ≤ ( r2 － r1 ) ∫ r2 r1 vT ( s) Mv( s) ds．引理 2 对于 0≤β≤1，任意的常数矩阵 X1、X2 和 Δ，则不等式 Δ + X1 ＜ 0 {Δ + X2 ＜ 0 等价于 Δ + βX1 + ( 1 － β) X2 ＜ 0． 2 估计器设计方便起见，本文定义 Σ1 = diag{ l + 1 l － 1 ，l + 2 l － 2 ，…，l + n l － n } ， Σ2 = diag { l + 1 + l － 1 2 ， l + 2 + l － 2 2 ，…， l + n + l － n } 2 ， Σ3 = diag{ ν + 1 ν － 1 ，ν + 2 ν － 2 ，…，ν + n ν － n } ， Σ4 = diag { ν + 1 + ν － 1 2 ， ν + 2 + ν － 2 2 ，…， ν + n + ν － n } 2 ．定理1 如果存在矩阵 R，正定矩阵 P ＞ 0，Q1 ＞ 0，Q2 ＞ 0，Q3 ＞ 0，S ＞ 0，T ＞ 0，正定对角矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0，W ＞ 0，使得如下线性矩阵不等式成立: Φi τmH1 τH1 * T － 2P 0 ＊＊ S － 2        P ＜ 0，i = 1，2． ( 10) ·848·

第 7 期张蕾等: 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计其中， Φ1 = Φ －［0 I 0 0 0 0 0 － I］T · S［0 I 0 0 0 0 0 － I］， Φ2 = Φ －［0 － I 0 0 0 0 I 0］T · S［0 － I 0 0 0 0 I 0］， H1 =［－ ( PA + RC) 0 PB0 PB1 PB2 － RD 0 0］T ，且 Φ = φ11 0 φ13 PB1 PB2 φ16 T 0 * φ22 0 Σ2V 0 0 S S ＊＊ φ33 0 0 0 0 0 ＊＊＊－V 0 0 0 0 ＊＊＊＊－ Q3 0 0 0 ＊＊＊＊＊－ W 0 0 ＊＊＊＊＊＊ φ77 0 ＊＊＊＊＊＊＊ φ                          88  ， φ11 = － PA － AT P － RC － CT RT + Q1 + Q2 － T － Σ1U － Σ3W， φ13 = PB0 + Σ2U，φ16 = － RD + Σ4W， φ22 = － 2S － Σ1V，φ33 = σ2 M Q3 － U， φ77 = － Q1 － T － S，φ88 = － Q2 － S，τ = τM － τm ．则误差状态系统( 9) 是全局渐近稳定的，且估计器增益矩阵为 K = P － 1 R．证明定义一个 Lyapunov 泛函为 V( t) = eT ( t) Pe( t) + ∫ t t－τm eT ( s) Q1 e( s) ds + ∫ t t－τM eT ( s) Q2 e( s) ds + σM ∫ 0 －σM ∫ t t+θ T ( s) Q3( s) dsdθ + τm ∫ 0 －τm ∫ t t+θ e ·T ( s) Te ·( s) dsdθ + τ ∫ －τm －τM ∫ t t+θ e ·T ( s) Se ·( s) dsdθ． ( 11) 由引理 1 可知，－ σM ∫ t t－σM T ( s) Q3( s) ds≤ － ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s T Q3 ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s ， ( 12) － τm ∫ t t－τm e ·T ( s) Te ·( s) ds≤ － ( e( t) － e( t － τm ) ) T T( e( t) － e( t － τm ) ) ， ( 13) － τ ∫ t－τm t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds = － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τ( t) － τm ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τ( t) － τm ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds． ( 14) 令 β = τ( t) － τm τM － τm ，则有－ ( τ( t) － τm ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds≤ － β( τM － τ( t) ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds， ( 15) － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds≤ － ( 1 － β) ( τ( t) － τm ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds． ( 16) 另一方面，由式( 4) 与( 6) ，可以得到以下不等式: ［i ( t) － l － i ei ( t) ］T ［i ( t) － l + i ei ( t) ］≤0， i = 1，2，…，n; ［ψj ( t) － ν － j ej ( t) ］T ［ψj ( t) － ν + j ej ( t) ］≤0， j = 1，2，…，m．从而，对于正定矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0 及 W ＞ 0，有 α1 = e( t) ( t [ ] ) T Σ1U － Σ2U － Σ2 [ ] U U e( t) ( t [ ] ) ≤0， ( 17) α2 = e( t － τ( t) ) ( t － τ( t [ ] ) ) T Σ1V － Σ2V － Σ2 [ ] V V e( t － τ( t) ) ( t － τ( t [ ] ) ) ≤0， ( 18) α3 = e( t) ψ( t [ ] ) T Σ3W － Σ4W － Σ4 [ ] W W e( t) ψ( t [ ] ) ≤0． ( 19) 综合考虑式( 10) ～ ( 19) ，可得 V · ( t) ≤V · ( t) － α1 － α2 － α3 = ξT ( t) ［βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ］ξ( t) ． ( 20) 其中，Φ1、Φ2 如式( 10) 所示，且 H =［－ ( A + KC) 0 B0 B1 B2 － KD 0 0］T ， ξ( t) = [ eT ( t) eT ( t － τ( t) ) T ( t) T ( t － τ( t) )· ·849·

北京科技大学学报第 34 卷 ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s T ψT ( t) eT ( t － τm) eT ( t － τM ] ) T ．如果 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0，则一定存在一个标量 ρ ＜ 0，使得 V · ( t) ≤ρ ‖e( t) ‖2 ＜ 0，其中，ρ = λmax［βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ］．从而，利用 Lyapunov 稳定性理论可得误差状态系统( 9) 是全局渐近稳定的．接下来，证明 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0．利用引理 2，可得 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0 等价于 Φ1 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0， Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT { ＜ 0． ( 21) 由 Schur 补引理可以得到式( 21) 等价于 Φi τmH τH * － T 0 ＊＊－        S ＜ 0 ( i = 1，2) ． ( 22) 在式( 22) 两边分别左乘 diag{ I，PT － 1 ，PS － 1 } 和右乘 diag{ I，T － 1 P，S － 1 P} ，并利用变量转换 K = P － 1 R，可得 Φi τmH1 τH1 * － PT － 1 P 0 ＊＊－ PS － 1        P ＜ 0 ( i = 1，2) ( 23) 显然，由于非线性项－ PT － 1 P 和－ PS － 1 P 的存在，不等式( 23) 不是一个线性矩阵不等式．由不等式( X － Y) T Y － 1 ( X － Y) ≥0，可以得到 PT － 1 P≥2P － T， ( 24) PS － 1 P≥2P － S． ( 25) 综合考虑式( 23) ～ ( 25) ，结合式( 10) 可知式( 23) 成立．从而，βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0．因此，误差状态系统( 9) 是全局渐近稳定的．注 2 定理 1 中的所有矩阵变量都来自于构造的 Lyapunov 泛函，没有额外引进自由权矩阵．定理 1 包含4n2 +6n 个决策变量，文献［10］中包含 22n2 + 6n 个．因此，定理 1 大大降低了运算量．并且在估计 V · ( t) 时，通过定义参数 β，得到一个更紧的 V · ( t) 上界．当 σ( t) = 0 时，时滞神经网络( 1) 即为下列系统: x ·( t) = － Ax( t) + B0 g( x( t) ) + B1 g( x( t － τ( t) ) ) + J． ( 26) 全维状态估计器为 x^ · ( t) = － Ax^( t) + B0 g( x^( t) ) + B1 g( x^( t － τ( t) ) ) + J + K( y( t) － Cx^( t) － Df( t，x^( t) ) ) ． ( 27) 由式( 26) 和式( 27) ，可以得到误差状态系统 e ·( t) = － ( A + KC) e( t) + B0( t) + B1( t － τ( t) ) － KDψ( t) ． ( 28) 显然，e( t) 在［－ τM，0］上是有界的，并且连续可微．可以得到误差系统( 28) 的稳定性条件．推论1 如果存在矩阵 R，正定矩阵 P ＞ 0，Q1 ＞ 0，Q2 ＞ 0，S ＞ 0，T ＞ 0，正定对角矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0， W ＞ 0，使得下列线性矩阵不等式成立: Ψi τmH2 τH2 * T － 2P 0 ＊＊ S － 2        P ＜ 0， ( i = 1，2) ．其中， Ψ1 = Ψ －［0 I 0 0 0 0 － I］T · S［0 I 0 0 0 0 － I］， Ψ2 = Ψ －［0 － I 0 0 0 I 0］T · S［0 － I 0 0 0 I 0］， H2 =［－ ( PA + RC) 0 PB0 PB1 － RD 0 0］T ，且 Ψ = φ11 0 φ13 PB1 φ16 T 0 * φ22 0 Σ2V 0 S S ＊＊－ U 0 0 0 0 ＊＊＊－ V 0 0 0 ＊＊＊＊－ W 0 0 ＊＊＊＊＊ φ77 0 ＊＊＊＊＊＊ φ                       88 ， φ11、φ13、φ16、φ22、φ77、φ88和 τ 如式( 10) 所示．则误差状态系统( 26) 是全局渐近稳定的，且估计器增益矩阵为 K = P － 1 R． 3 数值算例考虑具有如下参数的误差系统 A = 4 0 [ ] 0 5 ，B0 = 0. 2 － 0. 1 [ ] 0. 1 0. 4 ， B1 = 0. 1 0. 2 [ ] 0. 2 － 0. 1 ，B2 = 0. 4 0. 1 [ ] 0. 2 0. 4 ， J = 2sint + 0. 03t 2 2cos( 1. 5t) － 0. 03t [ ] 2 ，C = D = 1 0 [ ] 0 1 ．选取离散时变时滞为 τ( t) = 0. 2 + | sint |，分布时变时滞为 σ( t) = 0. 1 | cost |，从而可以得到 τm = 0. 2，τM = 1. 2，σM = 0. 5．激活函数取为 g( x) = 0. 2 ·850·

第7期张蕾等：混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 ·851· x+11+1x-1I],非线性干扰取为f(t,x(t))= 1.0 一x的真实值 0.1cosr(t)+0.3.因此，可以得到 0.8片一-文就101的结果 028小0 0 ·本文结果 1 0.6 -0.05 0.4 01 0.2 显然，lsit|在t=kπ(k=0,±1，±2，…)时不可微，因此文献1-12]中的判据不能求解此状态 0.2 估计问题.利用Matlab的LMl工具箱，可以求解定 0.46 12345678910 理1得到 P=20.8384 -0.32621 图1状态真实值()和估计值()的响应曲线 1-0.3262 15.4626J Fig.1 Response curves of the true state x (t)and its estimation (） 10.4011 -0.17991 Q1= 1-0.1799 7.4702' 0=12.2961 1.0 -0.21441 0.8 一，的真实值 -0.2144 8.7461 0.6 --文献10的结果 ·本文结果 r35.76171.81911 0.4 Q3= 1.8191 33.6083 14.8976 -0.16361 T= -0.2 -0.1636 12.4536' -0.4 6.2605 -0.10631 -0.6 S= 【-0.1063 4.3965J -0.81234567890 -36.7922 R= 0.92661 0.5031 -38.6052 图2状态真实值x2()和估计值()的响应曲线 U= r33.7099 Fig.2 Response curves of the true state x2(t)and its estimation 01 32.2146 2() V=22.9655 01 等式形式给出.数值算例证明了本文设计方法的有 0 19.9233 效性和优越性. W=68.4948 0 0 83.6090' 参考文献且状态估计增益矩阵为 [1]Liu Y R,Wang Z D,Liu X H.Global exponential stability of gen- -1.7657 0.00541 eralized recurrent neural networks with discrete and distributed de- K= lays.Neural Nettcorks,2006,19 (5):667 -0.0047 -2.4966」 [2]Huang H,Feng G,Cao J D.An LMI approach to delay-dependent 而利用文献0]可以求得 state estimation for delayed neural networks.Neurocomputing, -2.4904 0.00141 2008,71(13H5):2857 K= -0.0114-3.2391 B]He Y,Liu C P,Rees D.New delay-dependent stability criteria 仿真结果可见图1和图2. for neural networks with timevarying delay.IEEE Trans Neural Networks,2007,18(1):310 4结论 4]He Y,Liu G P,Rees D,et al.Stability analysis for neural net- works with timevarying interval delay.IEEE Trans Neural Net- 本文主要研究具有混合时变时滞神经网络的状 Work,2007,18(6):1850 态估计问题.离散时滞是时变的，并且在一个下界 [5]Gao H J,Chen T W.New results on stability of discretetime sys- 不一定为零的区间内变化.通过定义新的Lyapunov tems with time-varying state delay.IEEE Trans Autom Control, 2007,52(2):328 泛函，结合Jensen积分不等式，确定了确保误差状 [6]Shao H Y.New delay-dependent stability criteria for systems with 态系统全局渐近稳定的充分条件，并且得到系统状 interval delay.Automatica,2009,45 (3):744 态估计器的设计方法.所得结果完全由线性矩阵不 7]Wang Z D,Ho D W C,Liu X H.State estimation for delayed

第 7 期张蕾等: 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计［| x + 1 | + | x － 1 | ］，非线性干扰取为 f( t，x( t) ) = 0. 1cosx( t) + 0. 3．因此，可以得到 Σ1 = － 0. 2 0 [ ] 0 － 0. 2 ，Σ2 = － 0. 05 0 [ ] 0 － 0. 05 ， Σ3 = 0. 08 0 [ ] 0 0. 08 ，Σ4 = 0. 3 0 [ ] 0 0. 3 ．显然，|sint | 在 t = kπ( k = 0，± 1，± 2，…) 时不可微，因此文献［11--12］中的判据不能求解此状态估计问题．利用 Matlab 的 LMI 工具箱，可以求解定理 1 得到 P = 20. 838 4 － 0. 326 2 [ ] － 0. 326 2 15. 462 6 ， Q1 = 10. 401 1 － 0. 179 9 [ ] － 0. 179 9 7. 470 2 ， Q2 = 12. 296 1 － 0. 214 4 [ ] － 0. 214 4 8. 746 1 ， Q3 = 35. 761 7 1. 819 1 [ ] 1. 819 1 33. 608 3 ， T = 14. 897 6 － 0. 163 6 [ ] － 0. 163 6 12. 453 6 ， S = 6. 260 5 － 0. 106 3 [ ] － 0. 106 3 4. 396 5 ， R = － 36. 792 2 0. 926 6 [ ] 0. 503 1 － 38. 605 2 ， U = 33. 709 9 0 [ ] 0 32. 214 6 ， V = 22. 965 5 0 [ ] 0 19. 923 3 ， W = 68. 494 8 0 [ ] 0 83. 609 0 ，且状态估计增益矩阵为 K = － 1. 765 7 0. 005 4 [ ] － 0. 004 7 － 2. 496 6 ．而利用文献［10］可以求得 K = － 2. 490 4 0. 001 4 [ ] － 0. 011 4 － 3. 239 1 ．仿真结果可见图 1 和图 2． 4 结论本文主要研究具有混合时变时滞神经网络的状态估计问题．离散时滞是时变的，并且在一个下界不一定为零的区间内变化．通过定义新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，确定了确保误差状态系统全局渐近稳定的充分条件，并且得到系统状态估计器的设计方法．所得结果完全由线性矩阵不图 1 状态真实值 x1 ( t) 和估计值 x^ 1 ( t) 的响应曲线 Fig． 1 Response curves of the true state x1 ( t) and its estimation x^ 1 ( t) 图 2 状态真实值 x2 ( t) 和估计值 x^ 2 ( t) 的响应曲线 Fig． 2 Response curves of the true state x2 ( t) and its estimation x^ 2 ( t) 等式形式给出．数值算例证明了本文设计方法的有效性和优越性．参考文献［1］ Liu Y R，Wang Z D，Liu X H． Global exponential stability of generalized recurrent neural networks with discrete and distributed delays． Neural Networks，2006，19( 5) : 667 ［2］ Huang H，Feng G，Cao J D． An LMI approach to delay-dependent state estimation for delayed neural networks． Neurocomputing， 2008，71( 13-15) : 2857 ［3］ He Y，Liu G P，Rees D． New delay-dependent stability criteria for neural networks with time-varying delay． IEEE Trans Neural Networks，2007，18( 1) : 310 ［4］ He Y，Liu G P，Rees D，et al． Stability analysis for neural networks with time-varying interval delay． IEEE Trans Neural Networks，2007，18( 6) : 1850 ［5］ Gao H J，Chen T W． New results on stability of discrete-time systems with time-varying state delay． IEEE Trans Autom Control， 2007，52( 2) : 328 ［6］ Shao H Y． New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay． Automatica，2009，45( 3) : 744 ［7］ Wang Z D，Ho D W C，Liu X H． State estimation for delayed ·851·