第六章弹性力学问题的建立和一般原理 6.1基本方程和定解条件 基本方程，几何方程：，=2仙+“)6J=12,3) 平衡方程：0元+f=0(亿，j=1,2,3) 本构关系：0m=几E46+2uE,(i,j=1,2,3) 共有位移、应变、应力15个未知量，15个方程。 边界条件：设弹性体所占的空间区域为V,其边界为V,aV,边界上位移已知的部分，OV。 边界上应力已知的部分，V为具有弹性支撑的边界。则边界条件可以表示为： u=ū on a,v n-T=t (no=1) on a v (6.1) nT+ku=0 on a.V 其中ū是边界上己知的位移，t为边界上已知的面力，k>0为常数。 弹性力学问题可分为下列三类： (1)位移边值问题，边界上位移己知，基本方程+位移边界条件。 (2)应力边值问题，边界上应力己知，基本方程+应力边界条件。 (3)混合边值问题，一部分边界位移已知，一部分边界应力己知，或一部分是弹性支撑边界， 基本方程+位移边界条件+应力边界条件+弹性支撑边界条件。 解的存在性、唯一性都有大量研究，边界条件的提法在微分方程理论中称为适定性问题。 一般情况下，边界上给定位移，就不能再给定应力：给定应力就不能再给定位移，否则可能 无解。但某些特殊问题可以既提位移边界条件又提应力边界条件，例如地质勘探。这是因为 一般问题，材料已知，要求物体中的应力、应变、位移，而地质勘探问题，材料常数是未知 的，要通过测量的位移、应力、应变信息来反推材料常数，以判断地下是否有矿藏及范围。 弹性力学的解法： (1)实验方法：电测、光测、光弹、X射线、超声波等。 (2)解析方法：微分方程、复变函数、积分方程，积分变换等。 (3)数值方法：有限元、有限差分、边界元、无网格法等。 本课程主要介绍解析方法和数值方法的理论基础。 6.2基本原理 ()唯一性定理：当体力和边界条件给定时，弹性力学边值问题的应力场是唯一确定的，位 移场精确到刚体位移。 证明：设有两个解，4”，，，42,62，O2,都满足基本方程和边界条件，1 第六章 弹性力学问题的建立和一般原理 6.1 基本方程和定解条件 基本方程，几何方程： , ,, 1 ( ) ( , 1,2,3) 2 i j i j ji ε =+ = u u ij 平衡方程： , 0 ( , 1,2,3) ji j i σ += = f ij 本构关系： 2 ( , 1,2,3) ij kk ij ij σ =+ = λε δ με i j 共有位移、应变、应力 15 个未知量，15 个方程。 边界条件：设弹性体所占的空间区域为V ，其边界为∂V ， Vu ∂ 边界上位移已知的部分， Vσ ∂ 边界上应力已知的部分， Ve ∂ 为具有弹性支撑的边界。则边界条件可以表示为： on ( ) on 0 on u j ji i e V nt V k V σ σ = ∂ = = ∂ += ∂ u u T t T u i i n n (6.1) 其中u 是边界上已知的位移， t 为边界上已知的面力， k > 0 为常数。 弹性力学问题可分为下列三类： (1) 位移边值问题，边界上位移已知，基本方程+位移边界条件。 (2) 应力边值问题，边界上应力已知，基本方程+应力边界条件。 (3) 混合边值问题，一部分边界位移已知，一部分边界应力已知，或一部分是弹性支撑边界， 基本方程+位移边界条件+应力边界条件+弹性支撑边界条件。 解的存在性、唯一性都有大量研究，边界条件的提法在微分方程理论中称为适定性问题。 一般情况下，边界上给定位移，就不能再给定应力；给定应力就不能再给定位移，否则可能 无解。但某些特殊问题可以既提位移边界条件又提应力边界条件，例如地质勘探。这是因为 一般问题，材料已知，要求物体中的应力、应变、位移，而地质勘探问题，材料常数是未知 的，要通过测量的位移、应力、应变信息来反推材料常数，以判断地下是否有矿藏及范围。 弹性力学的解法： (1) 实验方法：电测、光测、光弹、X 射线、超声波等。 (2) 解析方法：微分方程、复变函数、积分方程，积分变换等。 (3) 数值方法：有限元、有限差分、边界元、无网格法等。 本课程主要介绍解析方法和数值方法的理论基础。 6.2 基本原理 (1) 唯一性定理：当体力和边界条件给定时，弹性力学边值问题的应力场是唯一确定的，位 移场精确到刚体位移。 证明：设有两个解， (1) (1) (1) , , i ij ij u ε σ ， (2) (2) (2) , , i ij ij u ε σ ，都满足基本方程和边界条件