f+gl2=+|gl,由第一章第二讲例1知道 Minkowski不等式 中等号成立当且仅当f(1)=kg(t),4-a,e,其中k为非负常数 由/L2+|g=1知k=1,故=g,这说明当J≠g时 同样的,空间(1<p<∞)是严格凸的 Hilbert空间是严格凸的,这可以由平行四边形公式直接得到 例51不是严格凸的,实际上只需取 x=(10.0…),y=(0,10,…), 则x≠y,|x=|y=1,但|x+川=2 也不是严格凸的,实际上取 x=(10…),y=(-1,0…), 则x≠y,|x=yl=1,|x 此外空间cc0,L[ab]L[a]C[ab]也不是严格凸的,读者可 直接验证之 定理3设X是线性赋范空间,则以下条件等价: (1)X是严格凸的 (2)对于X中任何凸子集E和x∈X,x关于E至多有一个最 佳逼近元 (3)对于每个∫∈X,闭单位球Sx上至多有一点x使得 证明(1)→(2)不妨设x∈E,若有x,x∈E同时使 x-x0|=|x-x|=d(x,E)=M.则此5 p pp f += + gfg ，由第一章第二讲例 1 知道 Minkowski 不等式 中等号成立当且仅当 f ( )t kg t = ( ) ， µ − a ， e ，其中 k 为非负常数， 由 1 p p f g + = 知 k =1，故 f = g ，这说明当 f ≠ g 时 2 p f g + ＜1. 同样的，空间 p l ( ) 1＜ ＜p ∞ 是严格凸的. Hilbert 空间是严格凸的，这可以由平行四边形公式直接得到. 例 5 1 l 不是严格凸的，实际上只需取 x = ( ) 1,0,0," ， y = (0,1,0,") ， 则 x ≠ y ， x y = =1，但 x y + = 2 . l ∞ 也不是严格凸的，实际上取 x = ( ) 1,0," ， y = − (1, 1,0,") ， 则 x ≠ y ， x y = =1， x y + = 2 . 此外空间 cc L ab L ab C ab ,, ,, ,, , 0 1 [ ] ∞ [ ] [ ]也不是严格凸的，读者可 直接验证之. 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （1） X 是严格凸的. （2） 对于 X 中任何凸子集 E 和 x∈ X ，x 关于 E 至多有一个最 佳逼近元. （3） 对于每个 f X ∗ ∈ ，闭单位球 X S 上至多有一点 0 x 使 得 ( ) 0 f x f = . 证 明 (1) (2) ⇒ 不妨设 x∉ E ，若有 0 0 x , x E ′ ∈ 同时使 x − =− = = x x x d xE M 0 0′ ( ) , . 则此时