胡乃联等：四维空间分形插值算法在品位估算中的应用 557 1克里金插值法的低通滤波性 这四个方程是由约束条件给出的.可见，每个变 换心：的系数中存在一个自由变量：取d,为自由变量， 克里金插值法是一种最优无偏估量的储量计算方 并称之为垂直尺度因子.限定自由变量0≤d,<1.因 法，它的插值公式为阿 为变换，能够把每条与y平行的直线变换成另一条与 2(- y平行的直线.所以，选取d,为自由变量，就能指定由 入：Z(x) (1) 变换心，所生成的垂直尺度.令d,为任意一个限定的实 式中，入(i=1,2,…,n)为权重系数，Z*(x。)为估计 数，则地，其他的系数可以表示为 值，Z(x:)为已知值. Xi-xi-1 从克里金插值理论可以看出，克里金插值法是利 a= XN -x0 用空间自相关性，在方差极小意义下估算待估点的属 XxXi-1-xoxi 性值，其实质是一种加权平均方法.由于高频信号仅 e= XN -X0 有较低的空间相关性，对加权系数贡献较小，造成高频 9.=-_4-) (5) 信号损失较大，因此克里金插值是一个明显的低通滤 XN-Xo XN-X0 波过程.为此，本文提出了基于分形理论的四维空 l-xoyd,(xyo-xoyx） 间分形插值算法，试图解决克里金插值的低通滤波性. Xx-x0 2分形插值原理和方法 可以证明此定义求取迭代函数系统总用唯一的吸 引子，且该吸引子必定是某个连续函数的图形，并同时 分形是对事物的形状、形态、结构与组织的分解、 通过各个插值点，而这个连续函数就称为分形插值 分割与分析，它具有自相似性m。自相似性是指局部 函数四 与整体在形态、功能、信息等方面具有统计意义上的相 2.2四维空间分形插值法 似性圆.分形插值是一种构造分形曲线的方法，是由 分形插值基于地质数据的自相似性，具体表现为 Barnsley在迭代函数系统基础上提出来的.用分形插 矿床在空间上是不均匀分布的，但矿床整体品位分布 值可以得到相邻两插值点之间的局部变化特征，从而 规律与其局部品位分布规律相似，即矿床在空间上呈 使插值结果更加符合实际 分形丛集分布画.通过钻孔品位数据得到整体品位 2.1分形插值原理 分布规律，并利用其对矿床进行品位插值，能够有效地 对于给定的数据点{(x,):x-1<x,i=1,2, 反映局部品位变化规律，从而提高插值精度. …,N},定义二维欧氏空间中的仿射变换为心：R2→ 相对于克里金插值法，分形插值利用拼贴原理得 R,可构造迭代函数系统(FS):{R2;w,i=1,2,, 到迭代函数系统.拼贴原理的实质是在矿床空间内通 n},使得此迭代函数系统的吸引子等于插值函数∫(x) 过寻找合适的压缩仿射变换，使得钻孔品位数据拼贴 的图形.设迭代函数系统中每个函数都是仿射变换， 成一个矿床整体品位数据集合。在拼贴过程中能够很 其构造为 好地保留包含高频、局部与弱信息在内的原始信息，从 而克服克里金插值法的低通滤波性 -(9份 (2) 由于品位估算时需要利用三维空间信息，加上地 质品位就成为四维空间，而传统的分形插值最多仅能 这时有集合函数L(x)=ax+e,插值函数F,(x, 计算三维空间1-，未充分考虑地质品位的空间信 y）=cx+dy+∫，其中a、cd、e,和f为变换函数的 息，在一定程度上影响了分形插值的推广能力，因此本 系数. 文提出四维空间分形插值算法 该迭代函数系统的求取是通过拼贴完成的，满足 令I=a,B],J=[y,δ]，K=[e,],设区域D=I 如下条件： ×J×K={(x,y,z)la≤x≤B,y≤y≤6，e≤z≤}， ）-） i=1,2,…,n.(3) 以△、△和上为步长，将D剖分为网格： ,a=x0<x1<·<xy=B 又由L:（xo)=x-1,L:（xx)=x,F:(xo,o）= y=%<为<…<yM=8, (6) y,F(xx,y)=y:,可得方程组： e=0<1<…<21=g a;xo +ei=xi-1' (1)X坐标的插值公式，其中N为x的可能取值. aixy +ei=xi, (4) cixo+diyo+f=yi ,()=1+)(x- -,n∈{1,2，…，N}. cixx +dyx +f=y (7)胡乃联等: 四维空间分形插值算法在品位估算中的应用 1 克里金插值法的低通滤波性 克里金插值法是一种最优无偏估量的储量计算方 法，它的插值公式为［6］ Z* ( x0 ) = ∑ n i = 1 λiZ( xi ) ． ( 1) 式中，λi ( i = 1，2，…，n) 为权重系数，Z* ( x0 ) 为估计 值，Z ( xi ) 为已知值． 从克里金插值理论可以看出，克里金插值法是利 用空间自相关性，在方差极小意义下估算待估点的属 性值，其实质是一种加权平均方法． 由于高频信号仅 有较低的空间相关性，对加权系数贡献较小，造成高频 信号损失较大，因此克里金插值是一个明显的低通滤 波过程［4］． 为此，本文提出了基于分形理论的四维空 间分形插值算法，试图解决克里金插值的低通滤波性． 2 分形插值原理和方法 分形是对事物的形状、形态、结构与组织的分解、 分割与分析，它具有自相似性［7］． 自相似性是指局部 与整体在形态、功能、信息等方面具有统计意义上的相 似性［8］． 分形插值是一种构造分形曲线的方法，是由 Barnsley 在迭代函数系统基础上提出来的． 用分形插 值可以得到相邻两插值点之间的局部变化特征，从而 使插值结果更加符合实际． 2. 1 分形插值原理 对于给定的数据点{ ( xi，yi ) ; xi － 1 ＜ xi，i = 1，2， …，N } ，定义二维欧氏空间中的仿射变换为 w: Ｒ2 → Ｒ2 ，可构造迭代函数系统( IFS) : { Ｒ2 ; wi，i = 1，2，…， n} ，使得此迭代函数系统的吸引子等于插值函数 f( x) 的图形． 设迭代函数系统中每个函数都是仿射变换， 其构造为 wi( ) x y = ai 0 ( c d )i ( ) x y + ei ( f )i ． ( 2) 这时有集合函数 Li ( x) = ai x + ei，插值函数 Fi ( x， y) = ci x + di y + fi，其中 ai、ci、di、ei和 fi为变换函数的 系数． 该迭代函数系统的求取是通过拼贴完成的，满足 如下条件: wi x0 ( y ) 0 = xi － 1 yi ( ) － 1 ，wi xn ( y ) n = xi ( y )i ，i = 1，2，…，n． ( 3) 又由 Li ( x0 ) = xi － 1，Li ( xN ) = xi，Fi ( x0，y0 ) = yi － 1，Fi ( xN，yN ) = yi，可得方程组: aix0 + ei = xi － 1， aixN + ei = xi， cix0 + diy0 + fi = yi － 1， cixN + diyN + fi = yi      ． ( 4) 这四个方程是由约束条件给出的． 可见，每个变 换 wi的系数中存在一个自由变量; 取 di 为自由变量， 并称之为垂直尺度因子． 限定自由变量 0≤di ＜ 1． 因 为变换 wi能够把每条与 y 平行的直线变换成另一条与 y 平行的直线． 所以，选取 di为自由变量，就能指定由 变换 wi所生成的垂直尺度． 令 di为任意一个限定的实 数，则 wi其他的系数可以表示为 ai = xi － xi － 1 xN － x0 ， ei = xN xi － 1 － x0 xi xN － x0 ， ci = yi － yi － 1 xN － x0 － di ( yN － y0 ) xN － x0 ， fi = xN yi － 1 － x0 yi xN － x0 － di ( xN y0 － x0 yN ) xN － x0            ． ( 5) 可以证明此定义求取迭代函数系统总用唯一的吸 引子，且该吸引子必定是某个连续函数的图形，并同时 通过各个插值点，而这个连续函数就称为分形插值 函数［9］． 2. 2 四维空间分形插值法 分形插值基于地质数据的自相似性，具体表现为 矿床在空间上是不均匀分布的，但矿床整体品位分布 规律与其局部品位分布规律相似，即矿床在空间上呈 分形丛集分布［10］． 通过钻孔品位数据得到整体品位 分布规律，并利用其对矿床进行品位插值，能够有效地 反映局部品位变化规律，从而提高插值精度． 相对于克里金插值法，分形插值利用拼贴原理得 到迭代函数系统． 拼贴原理的实质是在矿床空间内通 过寻找合适的压缩仿射变换，使得钻孔品位数据拼贴 成一个矿床整体品位数据集合． 在拼贴过程中能够很 好地保留包含高频、局部与弱信息在内的原始信息，从 而克服克里金插值法的低通滤波性． 由于品位估算时需要利用三维空间信息，加上地 质品位就成为四维空间，而传统的分形插值最多仅能 计算三维空间［11--12］，未 充分考虑地质品位的空间信 息，在一定程度上影响了分形插值的推广能力，因此本 文提出四维空间分形插值算法． 令 I =［α，β］，J =［γ，δ］，K =［ε，ζ］，设区域 D = I × J × K = { ( x，y，z) | α≤x≤β，γ≤ y≤δ，ε≤z≤ζ} ， 以!x、!y 和!z 为步长，将 D 剖分为网格: α = x0 ＜ x1 ＜ … ＜ xN = β， γ = y0 ＜ y1 ＜ … ＜ yM = δ， ε = z0 ＜ z1 ＜ … ＜ zL = ζ { ． ( 6) ( 1) X 坐标的插值公式，其中 N 为 x 的可能取值． n ( x) = xn － 1 + ( xn － xn － 1 ) ( x － x0 ) xN － x0 ，n∈{ 1，2，…，N} ． ( 7) · 755 ·