·558· 工程科学学报，第37卷，第5期 (2)Y坐标的插值公式，其中M为y的可能取值. 误差(MSE)作为验证指标. pn(y）=ym-1+- ,（yn-ym-i）(y-yo) Yw-Yo .2-2? (12) me{1,2,…,M}. (8) n·s2 (3)Z坐标的插值公式，其中L为z的可能取值. 式中，Z为观测点估计值，Z,为观测点实际值，s2为观 -a=,le1,2,. 测点实际值的方差. 9,(z）=z1-1+- 2L-20 均方误差越小，预测值就越接近它们的真实值，插 (9) 值效果也就越好 (4)W品位的插值公式.令 本文以某钼矿为工程背景，基于MATLAB软件平 Fm（x,y,z,0）=ga,mx+hn.m,y+Pm2+ 台，对该钼矿468个钻孔钼品位样本数据进行研究，随 9my+「.mz+5.m2+【mXz+m.0, 机选取其中252个样本数据作为插值的初始值，其余 n∈{1,2，…，N},m∈{1,2，…，M,le{1,2,…,L} 216个样本数据用来和插值结果进行对照.以100m 由 水平为例，利用MATLAB软件作钼矿四维空间分形插 [Fmm1（x0y020000.0）=Z。-l,m-1.l-1y 值算法品位等值线图与钼矿克里金插值法品位等值线 F（xoy020o.l）=Z.-la- 图分别如图1和图2所示. F1（x0yn20,0o..0）=Z。-l,m1-1' 钼品位10 4.6585 40 F（xoy20o.）=Z-1' n640 4.6580 (10) 640 F(xo0o0）=Z-- 4.6575 490 90 4.6570 540590 Fa(xxyo0xo.）=Za- F.i（xyga0.0）=Zna-' 日4.6565 色4.6560 5907厂 F.m1（xxy220.Mi）=Zml 4.6555 得 4.6550 4.6545 -11=gn.m+hmo+pam+9n.moYo+ 590 4.6540 a.m.o+mmo+.0.0.0 465934815249252483524894524855248652487 a-1m18m+hmo+pa.m.L+9.m.oYo+ x/10°m a.m.o.mYozL+moYow.m.0.0.L 图1100m水平分形插值 -1.mgmhamyy+pa.m:o+9am.oy+ Fig.1 Fractal interpolation at the 100 m level 「，1X020+5mJ2g+Lnm.Xoy0+uam100.M.0y za-1.m=gn.m.o+ha.my+pa.m.+9n.m.y+ 钼品位/106 4.6585 a.m.myu.m 4.6580 640 a.m-1-1=gm.+hamYo+Pa.m1o+9m.o+ 4.6575 4.6570 「a,m,x20+snm,y020+lm.心xy020+La,m10,0.0’ 4.6565 a.m1.mha:m:o+pa.m.+9n.mo+ 兰4.6560 a.m:XNL+S.m.IYoZL+mYoL+uw.m.IWN.0.L 4.65 乙a,m1-l=gm.x+hm,yM+Pnm.10+9am式xyy+ 4.6550 4.6545 a.m.o5n.mYomyoun.m 4.6540 n.mgmha.my+pammy+ 4.6535 5.24815.24825.24835.24845.24855.24865.2487 T,m,X2L+5a,m,n2L+la,m,1心xyn2L+L。,m0X,M,上 x/105m (11) 图2100m水平克里金插值 Fig.2 Kriging interpolation at the 100 m level 3实例验证 为了评价插值方法的质量，本文将数据样本总体 对比图1和图2可以看出，四维空间分形插值算 分为两组，一组作为观测点（待估计点），另一组作为 法与克里金插值法的品位分布整体趋势相同.但在中 已知点，然后通过已知点对观测点进行预测，采用均方 间位置，分形插值中钼品位(590×106)分布呈现零星工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 ( 2) Y 坐标的插值公式，其中 M 为 y 的可能取值． φm ( y) = ym － 1 + ( ym － ym － 1 ) ( y － y0 ) yM － y0 ， m∈{ 1，2，…，M} ． ( 8) ( 3) Z 坐标的插值公式，其中 L 为 z 的可能取值． l ( z) = zl － 1 + ( zl － zl － 1 ) ( z － z0 ) zL － z0 ，l∈{ 1，2，…，L} ． ( 9) ( 4) W 品位的插值公式． 令 Fn，m，l ( x，y，z，w) = gn，m，lx + hn，m，ly + pn，m，lz + qn，m，lxy + rn，m，lxz + sn，m，lyz + tn，m，lxyz + un，m，lw， n∈{ 1，2，…，N} ，m∈{ 1，2，…，M} ，l∈{ 1，2，…，L} ． 由 Fn，m，l ( x0，y0，z0，w0，0，0 ) = Zn － 1，m － 1，l － 1， Fn，m，l ( x0，y0，zL，w0，0，L ) = Zn － 1，m － 1，l， Fn，m，l ( x0，yM，z0，w0，M，0 ) = Zn － 1，m，l － 1， Fn，m，l ( x0，yM，zL，w0，M，L ) = Zn － 1，m，l， Fn，m，l ( xN，y0，z0，wN，0，0 ) = Zn，m － 1，l － 1， Fn，m，l ( xN，y0，zL，wN，0，L ) = Zn，m － 1，l， Fn，m，l ( xN，yM，z0，wN，M，0 ) = Zn，m，l － 1， Fn，m，l ( xN，yM，zL，wN，M，L ) = Zn，m，              l ( 10) 得 zn － 1，m － 1，l － 1 = gn，m，lx0 + hn，m，ly0 + pn，m，lz0 + qn，m，lx0 y0 + rn，m，lx0 z0 + sn，m，ly0 z0 + tn，m，lx0 y0 z0 + un，m，lw0，0，0， zn － 1，m － 1，l = gn，m，lx0 + hn，m，ly0 + pn，m，lzL + qn，m，lx0 y0 + rn，m，lx0 zL + sn，m，ly0 zL + tn，m，lx0 y0 zL + un，m，lw0，0，L， zn － 1，m，l － 1 = gn，m，lx0 + hn，m，lyM + pn，m，lz0 + qn，m，lx0 yM + rn，m，lx0 z0 + sn，m，lyM z0 + tn，m，lx0 yM z0 + un，m，lw0，M，0， zn － 1，m，l = gn，m，lx0 + hn，m，lyM + pn，m，lzL + qn，m，lx0 yM + rn，m，lx0 zL + sn，m，lyM zL + tn，m，lx0 yM zL + un，m，lw0，M，L， zn，m － 1，l － 1 = gn，m，lxN + hn，m，ly0 + pn，m，lz0 + qn，m，lxN y0 + rn，m，lxN z0 + sn，m，ly0 z0 + tn，m，lxN y0 z0 + un，m，lwN，0，0， zn，m － 1，l = gn，m，lxN + hn，m，ly0 + pn，m，lzL + qn，m，lxN y0 + rn，m，lxN zL + sn，m，ly0 zL + tn，m，lxN y0 zL + un，m，lwN，0，L， zn，m，l － 1 = gn，m，lxN + hn，m，lyM + pn，m，lz0 + qn，m，lxN yM + rn，m，lxN z0 + sn，m，lyM z0 + tn，m，lxN yM z0 + un，m，lwN，M，0， zn，m，l = gn，m，lxN + hn，m，lyM + pn，m，lzL + qn，m，lxN yM + rn，m，lxN zL + sn，m，lyM zL + tn，m，lxN yM zL + un，m，lwN，M，L                          ． ( 11) 3 实例验证 为了评价插值方法的质量，本文将数据样本总体 分为两组，一组作为观测点( 待估计点) ，另一组作为 已知点，然后通过已知点对观测点进行预测，采用均方 误差( MSE) ［13］作为验证指标． MSE = ∑ n k = 1 ( Z* k － Zk ) 2 n·s 2 ． ( 12) 式中，Z* k 为观测点估计值，Zk为观测点实际值，s 2 为观 测点实际值的方差． 均方误差越小，预测值就越接近它们的真实值，插 值效果也就越好． 本文以某钼矿为工程背景，基于 MATLAB 软件平 台，对该钼矿 468 个钻孔钼品位样本数据进行研究，随 机选取其中 252 个样本数据作为插值的初始值，其余 216 个样本数据用来和插值结果进行对照． 以 100 m 水平为例，利用 MATLAB 软件作钼矿四维空间分形插 值算法品位等值线图与钼矿克里金插值法品位等值线 图分别如图 1 和图 2 所示． 图 1 100 m 水平分形插值 Fig． 1 Fractal interpolation at the 100 m level 图 2 100 m 水平克里金插值 Fig． 2 Kriging interpolation at the 100 m level 对比图 1 和图 2 可以看出，四维空间分形插值算 法与克里金插值法的品位分布整体趋势相同． 但在中 间位置，分形插值中钼品位( 590 × 10 － 6 ) 分布呈现零星 · 855 ·