=(rm-(x),n(x)=arn(x)(使am(x)为首一多项式)。这就把(f(x)g(x)求出来了。 91.5一元多项式环的理想、主理想的定义 定义9.7设为K[x]的一个非空子集。如果下面条件满足: (i)若f(x),g(x)∈I,则∫(x)-g(x)∈l; (i)若f(x)∈l,则对任意g(x)∈K[x],有f(x)g(x)∈l 则称I为K[x]的一个理想 {0}和K[x]显然都是理想,称为平凡理想,其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理 想 定义9.8对任意f(x)∈K[x],定义 ((x))=u(x)f(x)lu(xeKIxli 则(f(x)成为由f(x)生成的主理想。 主理想的简单性质 1)(f(x)c(g(x)且g(x)≠0分g(x)|f(x) 2)(f(x)=(g(x)g(x)=f(x),其中c∈K,c≠0 命题域上的一元多项式环是主理想整环,即设/是K[x]的一个非零理想,则存在 K[x]内的首一多项式f(x),使I=(f(x)。 证明在/中选一个次数最低的多项式f(x),因对任意的a∈K,qf(x)∈I,故可设 f(x)为首一多项式。按理想的定义中的条件(i)即知(f(x)1。现设g(x)为/中任意 元素,按带余除法,有q(x)r(x)∈K[x],使得 8(x)=q(x)f(x)+r(x) 其中r(x)=0或degr(x)<degf(x),但r(x)=g(x)-f(x)q(x)仍属于,由f(x)的选 法可知必定有r(x)=0,于是g(x)=q(x)f(x),即g(x)∈(f(x),从而I∈(f(x),由 此I=(f(x)。 定义9.9理想的交与和的定义 1)h1∩l2仍为K[x]的理想,称为1与l2的交 2)令1+l2={(x)+g(x)|∫(x)∈l12g(x)∈I2},则1+l2也是K[x]的一个理想, 称为l1与l2的和 我们很容易验证,若m(x)是f(x)与g(x)的最小公倍式,则 (f(x)∩(g(x)=(m(x)。 命题域K上的一元多项式环K[x中二理想(f(x)与(g(x)的和等于由f(x)与 g(x)的最大公因子生成的理想= 1 ( ( ), ( )) ( ) m m m r x r x ar x − = （使 ( ) m ar x 为首一多项式）。这就把 ( ( ), ( )) f x g x 求出来了。 9.1.5 一元多项式环的理想、主理想的定义 定义 9.7 设 I 为 K x[ ] 的一个非空子集。如果下面条件满足： （i） 若 f x g x I ( ), ( ) ，则 f x g x I ( ) ( ) −  ； （ii） 若 f x I ( ) ，则对任意 g x K x ( ) [ ]  ，有 f x g x I ( ) ( ) 。 则称 I 为 K x[ ] 的一个理想。 {0}和 K x[ ] 显然都是理想，称为平凡理想，其他理想称为非平凡理想。{0}又称为零理 想。 定义 9.8 对任意 f x K x ( ) [ ]  ，定义 ( ( )) { ( ) ( ) | ( ) [ ]}, f x u x f x u x K x =  则 ( ( )) f x 成为由 f x( ) 生成的主理想。 主理想的简单性质： 1） ( ( )) ( ( )) ( ) 0 ( ) | ( ). f x g x g x g x f x    且 2） ( ( )) ( ( )) ( ) ( ), , 0. f x g x g x cf x c K c =  =   其中 命题 域上的一元多项式环是主理想整环，即设 I 是 K x[ ] 的一个非零理想，则存在 K x[ ] 内的首一多项式 f x( ) ，使 I f x = ( ( )) 。 证明 在 I 中选一个次数最低的多项式 f x( ) ，因对任意的 a K af x I   , ( ) ，故可设 f x( ) 为首一多项式。按理想的定义中的条件（ii）即知 ( f x I ( ))  。现设 g x( ) 为 I 中任意 元素，按带余除法，有 q x r x K x ( ), ( ) [ ]  ，使得 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 r x r x f x ( ) 0 deg ( ) deg ( ) =  或 ，但 r x g x f x q x ( ) ( ) ( ) ( ) = − 仍属于 I ，由 f x( ) 的选 法可知必定有 r x( ) 0 = ，于是 g x q x f x ( ) ( ) ( ) = ，即 g x f x ( ) ( ( ))  ，从而 I f x ( ( )) ，由 此 I f x = ( ( )) 。 定义 9.9 理想的交与和的定义 1) 1 2 I I 仍为 K x[ ] 的理想，称为 1 I 与 2 I 的交； 2）令 1 2 1 2 I I f x g x f x I g x I + = +   { ( ) ( ) | ( ) , ( ) } ，则 1 2 I I + 也是 K x[ ] 的一个理想， 称为 1 I 与 2 I 的和。 我 们 很 容 易 验 证 ， 若 m x( ) 是 f x( ) 与 g x( ) 的 最 小 公 倍 式 ， 则 ( ( )) (( ( )) ( ( )) f x g x m x = 。 命题 域 K 上的一元多项式环 K[x] 中二理想 ( f (x)) 与 (g(x)) 的和等于由 f (x) 与 g(x) 的最大公因子生成的理想