如果n=0,则取q(x)=一g(x),r(x)=0即可。下面假定n>0。对g(x)的次数做数学归 纳法:如果g(x)=0或degg(x)<n,则令q(x)=0,r(x)=g(x)即满足要求 degg(x)<m,命题正确,则当degg(x)=m时,有 g(x)=bx"+bxm+…+bn(b≠0) (这里m≥n),令 81(x)=g(x) boxm-nf(x) 若g1(x)=0,则取q(x)=xm,r(x)=0。否则,因degg(x)<m,按归纳假设,存在 q1(x),(x)∈K[x],使得 (x)=q1(x)f(x)+r(x) 这里F(x)=0或degr(x)<deg∫(x)。现令 q(x)=xm-+q1(x),r(x)=(x) 则显然有g(x)=q(x)f(x)+r(x) 唯一性设张(x),r(x)也满足命题要求,那么 q(xf(x)+r(x)=g(xf(x)+r(r) L(x)-q(xlf(x=r(x)-r(x) 比较两边的次数,即可知r(x)-r(x)=0,q(x)-(x)=0。 914用辗转相除法求二多项式的最大公因子 给定f(x),g(x)∈K[x],f(x)≠0,做带余除法: 8(x)=q(x)f(x)+r(x) (r(x)=oo deg r(x)<deg f(x)) 不难得(f(x),g(x)=(f(x),r(x)。现在做辗转相除法如下 g(x)=q(x)f(x)+r(x)(若r(x)≠0) f(x)=q1(x)r(x)+r(x)(若r1(x)≠0) r(x)=q2(x)(x)+r2(x)(若r2(x)≠0) 因degf(x)>degr(x)>degn2(x)>…,故必有F(x)=0而rn(x)≠0,即 rn=1(x)=qn(x)n(x),于是(g(x),f(x)=(f(x),r(x))=(r(x),r1(x)=((x),2(x)=…如果 n = 0 ，则取 0 1 q x g x r x ( ) ( ), ( ) 0 a = = 即可。下面假定 n  0 。对 g x( ) 的次数做数学归 纳法：如果 g x( ) =0 或 deg ( ) g x n  ，则令 q x r x g x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即满足要求。设 deg ( ) g x m ，命题正确，则当 deg ( ) g x m= 时，有 ( ) 1 0 1 0 ( ) 0 m m m g x b x b x b b − = + + +  （这里 m n  ），令 0 1 0 ( ) ( ) ( ). b m n g x g x x f x a − = − 若 1 g x( ) 0 = ，则取 0 0 ( ) , ( ) 0 b m n q x x r x a − = = 。否则，因 1 deg ( ) g x m ，按归纳假设，存在 1 1 q x r x K x ( ), ( ) [ ]  ，使得 1 1 1 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 这里 1 r x( ) 0 = 或 1 deg ( ) deg ( ) r x f x  。现令 0 1 1 0 ( ) ( ), ( ) ( ), b m n q x x q x r x r x a − = + = 则显然有 g x q x f x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 唯一性 设 q x r x ( ), ( ) 也满足命题要求，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ). q x f x r x q x f x r x q x q x f x r x r x + = + − = − 比较两边的次数，即可知 r x r x q x q x ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 − = − = 。 9.1.4 用辗转相除法求二多项式的最大公因子 给定 f x g x K x f x ( ), ( ) [ ], ( ) 0   ，做带余除法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0 deg ( ) deg ( )). g x q x f x r x r x r x f x = + =  或 不难得 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) f x g x f x r x = 。现在做辗转相除法如下： 1 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0), ( g x q x f x r x r x f x q x r x r x r x r x q x r x r x r x = +  = +  = +  若 若 若 因 1 2 deg ( ) deg ( ) deg ( ) f x r x r x    ，故必有 1 ( ) 0 m r x + = 而 ( ) 0 m r x  ， 即 1 ( ) ( ) ( ) m m m r x q x r x − = ，于是 1 1 2 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) g x f x f x r x r x r x r x r x = = = =