,180 北京科技大学学报 第30卷 s条上的压应力，Q为在卷取第i层时带钢在第j 题，即带钢的形变和应力与极角无关，用“表示沿 层、第s条和第s一1条间的剪切力，0为坐标原点， 轴r的位移，v表示沿轴6的位移，根据弹性理 r为半径方向，以此建立带钢上下层之间的力学关 论有： 系式 径向形变， u十ad一uaM dr ar (1) 切向形变， 0= 10n+业=业 ,0十=r (2) 剪切形变， 图3钢卷内部受力图 m+2-立=0 Fig.3 Force diagram in strip coil r-r00 arr (3) 另外，由于需要考虑带材横向温差、板廓凸度和 联立式(1)、(2)、(3)得到形变连续方程： 板形等因素的影响，因此对其进行宽度方向的离散 d E00E-0 +-+凉=导 处理.假设带钢沿板宽对称，取半板宽带钢作为研 究对象（见图4） (4) (2)钢卷物理方程.关于切向，带钢原来卷上 去的拉应力为，由于外圈压力的作用，使得内圈 产生压缩变形，从而引起带钢拉力的消失，故有 g=0一0：，式中，0：为卷取n圈后带钢第i层的实 际张应力，0为卷取时带钢的单位张应力，且o= 图4半板宽条元受力图 bh .因此，有： Fig.4 Force diagram of elements in width direction (64-) (5) 2.2边界条件分析 根据带钢宽度方向的对称性和其卷取过程的实 关于径向，钢卷在卷取时除了一般的弹性变形 际受力情况可确定数学方程的边界条件如下： 外，还应考虑带钢层与层之间相互接触时所引起的 (1)如图4所示，考虑带钢宽度方向存在对称 附加变形影响，故有： 性，在带钢的中部(s=1)剪切力Q1y=0;同时在带 钢的最边部（即s=n十1），剪切力同样有Qm+1,y= 5=一台(-)十mg (6) 0. 式中，E、“为带钢弹性模量和泊松比，E,为钢卷径 (2)卷取过程中，带钢最外层（即卷取层）外表 向压缩系数（径向弹性模量），m为带材的径向紧密 面压力p,+1=0. (③)卷取过程中，带钢当前正在卷取层的张应 系数m一台 力平均值¤：=o(卷取张应力的平均值) (3)钢卷静力平衡方程.对于图3所示单元体， (4)钢卷内表面的周向位移等于卷筒外表面的 上下层所受到的摩擦力可以等效到周向力中去，即 周向位移. 轴向只考虑等效的周向力，因此有径向的静力平衡 2.3微分方程 方程为： 根据带钢物理模型和受力条件，在日本学者 Kazunori Hata6]和Hiromu Suzukil门等以及国内燕 api二0 g十p十r (7) 山大学连家创80建立的力学模型基础上，在考虑 式中，σ：实质上是等效的周向力 横向温差、板廓凸度、板形等因素下建立了带钢卷取 将式(7)带入径向应变方程式(6)得径向应变 过程中的力学关系式，运用逐层迭代法对变量进行 为： 求解。文中均采用极坐标系， (1)钢卷几何方程.假设带钢卷取为轴对称问 =[1-周+， (8)s 条上的压应力‚Qsij为在卷取第 i 层时带钢在第 j 层、第 s 条和第 s—1条间的剪切力‚O 为坐标原点‚ r 为半径方向‚以此建立带钢上下层之间的力学关 系式． 图3 钢卷内部受力图 Fig．3 Force diagram in strip coil 另外‚由于需要考虑带材横向温差、板廓凸度和 板形等因素的影响‚因此对其进行宽度方向的离散 处理．假设带钢沿板宽对称‚取半板宽带钢作为研 究对象（见图4）． 图4 半板宽条元受力图 Fig．4 Force diagram of elements in width direction 2∙2 边界条件分析 根据带钢宽度方向的对称性和其卷取过程的实 际受力情况可确定数学方程的边界条件如下： （1） 如图4所示‚考虑带钢宽度方向存在对称 性‚在带钢的中部（ s＝1）剪切力 Q1ij＝0；同时在带 钢的最边部（即 s＝ n＋1）‚剪切力同样有 Qn＋1‚ij＝ 0． （2） 卷取过程中‚带钢最外层（即卷取层）外表 面压力 pi‚i＋1＝0． （3） 卷取过程中‚带钢当前正在卷取层的张应 力平均值 σsii＝σ0（卷取张应力的平均值）． （4） 钢卷内表面的周向位移等于卷筒外表面的 周向位移． 2∙3 微分方程 根据带钢物理模型和受力条件‚在日本学者 Kazunori Hata ［6］ 和 Hiromu Suzuki ［7］ 等以及国内燕 山大学连家创［8—10］建立的力学模型基础上‚在考虑 横向温差、板廓凸度、板形等因素下建立了带钢卷取 过程中的力学关系式‚运用逐层迭代法对变量进行 求解．文中均采用极坐标系． （1） 钢卷几何方程．假设带钢卷取为轴对称问 题‚即带钢的形变和应力与极角无关．用 u 表示沿 轴 r 的位移‚v 表示沿轴θ的位移‚根据弹性理 论有： 径向形变‚ εr＝ u＋ ∂u ∂r d r — u d r ＝ ∂u ∂r （1） 切向形变‚ εθ＝ 1 r ∂v ∂θ ＋ u r ＝ u r （2） 剪切形变‚ rrθ＝ ∂u r∂θ ＋ ∂v ∂r — v r ＝0 （3） 联立式（1）、（2）、（3）得到形变连续方程： r ∂2εθ ∂r 2＋2 ∂εθ ∂r — ∂εr ∂r ＋ 1 r ∂2εr ∂θ2＝ r ∂2εθ ∂r 2＋2 ∂εθ ∂r ∂εr ∂r ＝0 （4） （2） 钢卷物理方程．关于切向‚带钢原来卷上 去的拉应力为 σ0‚由于外圈压力的作用‚使得内圈 产生压缩变形 εθ‚从而引起带钢拉力的消失‚故有 σθ＝σ0—σi．式中‚σi 为卷取 n 圈后带钢第 i 层的实 际张应力‚σ0 为卷取时带钢的单位张应力‚且 σ0＝ TS bh ．因此‚有： εθ＝ 1 E （σ0—σi—μpi） （5） 关于径向‚钢卷在卷取时除了一般的弹性变形 外‚还应考虑带钢层与层之间相互接触时所引起的 附加变形 pi Er 影响‚故有： εr＝— μ E （σ0—σi）＋ m pi E （6） 式中‚E、μ为带钢弹性模量和泊松比‚Er 为钢卷径 向压缩系数（径向弹性模量）‚m 为带材的径向紧密 系数‚m＝ E Er ． （3） 钢卷静力平衡方程．对于图3所示单元体‚ 上下层所受到的摩擦力可以等效到周向力中去‚即 轴向只考虑等效的周向力‚因此有径向的静力平衡 方程为： σi＋ pi＋ r ∂pi ∂r ＝0 （7） 式中‚σi 实质上是等效的周向力． 将式（7）带入径向应变方程式（6）得径向应变 为： εr＝ m E 1— μ m pi— μ m σ0＋ r d pi d r （8） ·180· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷