∫。 d=t4(1-)4d=B (1+x) 44=4Gr(,)=-x 4 sIn (6)作变换t=sin2x,则 sin'xcos2 xdx=Lr(1-t4a I r(are 1 r(4+)2 1511731155 (7)作变换t=x,则 xe dx ned=-I(-)。 (8)作变换t=x”,则 ∫x“0-x)yh=:(u-=2) 2,证明“h2+)(为正整数)并推出厂“=1 证令t=x”,则 利用r(s+1)=sr(s)以及r函数的连续性,得到 lim[*e-xdox=limr 1+=ro= 3.证明r(s)在s>0上可导,且r(s)=J。 xe In xdx。进一步证明 (s) 证 x=」J。 -e"Inxdx。任意取0<5<S ls≥ ∈(01]时 nx,而∫x21mx收敛 所以Jxe-hnxd在s≥5上一致收敛; )时 x In 而「xet收敛 所以「 xe"Inxdx在s≤S上一致收敛。 这说明∫。 x-le-Inxdx关于s在(,+)上内闭一致收敛。于是r(s)在 在s>0上可导,且r()=∫ 进一步,若r(s)=「x-e(nxyh,类似于上述的论证过程, 可知[c(mg]a-nx(在0+o)上内闭一致收dx x x ∫ +∞ 0 + 2 4 (1 ) 2 2 4 4sin ) 4 3 ) ( 4 1 ( 4 1 ) 4 3 , 4 5 (1 ) ( 1 0 4 1 4 1 π π π = − = Β = Γ Γ = = ∫ − t t dt 。 （6）作变换t = sin2 x ，则 ∫ 2 0 2 1 7 sin cos π x xdx 1155 256 4 3 4 7 4 11 4 15 2 3! ) 4 3 (4 ) 4 3 (4) ( 2 1 (1 ) 2 1 1 0 4 1 3 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Γ + Γ Γ = − = ∫ − t t dt 。 （7）作变换t = x n ，则 ∫ +∞ − 0 x e dx n m x ) 1 ( 1 1 0 1 1 n m n t e dt n n t m + = = Γ ∫ +∞ − − + 。 （8）作变换t = x n ，则 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x ) dx p n q = − = ∫ − 1 − 0 1 1 (1 ) 1 t t dt n n q p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ q n p B n , 1 。 2．证明 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ ∫ +∞ − n n e dx n x 1 1 0 （n为正整数），并推出lim ∫0 = 1。 +∞ − →∞ e dx n x n 证 令 ，则 n t = x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Γ ∫ ∫ +∞ − − +∞ − n n e t dt n e dx x t n n 1 1 1 0 1 1 0 。 利用Γ(s +1) = sΓ(s) 以及Γ 函数的连续性，得到 (1) 1 1 lim lim 1 0 ⎟ = Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ + →∞ +∞ − →∞ ∫ n e dx n x n n 。 3． 证明 在 上可导，且 。进一步证明 （ ）。 Γ(s) s > 0 ∫ +∞ − − Γ′ = 0 1 (s) x e ln xdx s x ( ) ∫ +∞ − − Γ = 0 ( ) 1 (s) x e ln x dx n s x n n ≥ 1 证 1 0 ( e ) s x x dx s +∞ ∂ − − = ∂ ∫ 1 0 e ln s x x xdx +∞ − − ∫ 。任意取 0 0 0 < s S < < +∞。 当s ≥ s0， x ∈ (0,1]时， x e x x x s x s ln ln 1 1 − − 0 − ≤ ，而∫ − 1 0 1 ln 0 x x dx s 收敛， 所以 ∫ − − 在 上一致收敛； 1 0 1 x e ln xdx s x 0 s ≥ s 当 s ≤ S0 ， x ∈[1,+∞) 时， 1 0 ln s x x S x e x x e − − − ≤ ，而 0 1 e S x x dx +∞ − ∫ 收敛， 所以∫ 在 上一致收敛。 +∞ − − 1 1 x e ln xdx s x 0 s ≤ S 这说明∫ 关于 在 +∞ − − 0 1 x e ln xdx s x s (0,+∞)上内闭一致收敛。于是 在 在 上可导，且 。 Γ(s) s > 0 ∫ +∞ − − Γ′ = 0 1 (s) x e ln xdx s x 进一步，若 ，类似于上述的论证过程， 可知 ( ) ∫ +∞ − − − − Γ = 0 ( 1) 1 1 (s) x e ln x dx n s x n ( ) 1 1 0 e ln n s x x x dx s +∞ ∂ − − − ⎡ ⎤ = ∫ ∂ ⎣ ⎦ ( ) ∫ +∞ − − 0 1 x e ln x dx s x n 在(0,+∞)上内闭一致收 2