习题15.3 Euler积分 1.计算下列积分: (2) √3-cosx (3) (n>0); (4) 1 o Iti dx (n>m>0) (6)「sin7xcos2xh (7)∫。x"ed(mn>0);(8)「x(1-x)y(pqn>0) 解(1)∫x-xk=5x20-xy2=B 2I(3)8 (2)作变换√ 1-cos x 则 x=2 arcsin t4, dx ,3-c0sx=2(1+t2), 2r4V1-t2 于是 CoS x 2√2 4(1-1)2d=-=B( 2√242 (3)作变换t=x",则 (1-1)"d=-B(-,1 nnn (4)作变换x2=tanO,则 dx==2 tan n 0de n sin n cos n ed0, 再作变换t=sin2θ,得到 tn(1-1)"dt=-B m1- (5)作变换t=x,则 1+ 于是习 题 15.3 Euler 积分 1. 计算下列积分： （1）∫ − 1 0 2 x x dx； （2）∫ − π 0 3 cos x dx ； （3）∫ − 1 0 1n n x dx （n > 0）； （4）∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m （n > m > 0）； （5） dx x x ∫ +∞ 0 + 2 4 (1 ) ； （6）∫ 2 0 2 1 7 sin cos π x xdx ； （7）∫ （ ）； （8）∫ （ ）。 +∞ − 0 x e dx n m x m, n > 0 − − − 1 0 1 1 x (1 x ) dx p n q p, q, n > 0 解（1）∫ − 1 0 2 x x dx 8 ) 2 1 ( 8 1 (3) ) 2 3 ( ) 2 3 , 2 3 (1 ) ( 2 2 1 0 2 1 2 1 π = Γ = Γ Γ = − = Β = ∫ x x dx 。 （2）作变换 2 1 cos x t − = ，则 1 4 x = 2arcsin t ， 3 1 4 2 2 1 dt dx t t = − ， 1 2 3− = cos x 2(1+ t )， 于是 ∫ − π 0 3 cos x dx ) 2 1 , 4 1 ( 2 2 1 (1 ) 2 2 1 1 0 2 1 4 3 = − = Β ∫ − − t t dt 。 （3）作变换t = x n ，则 ∫ − 1 0 1n n x dx = − = Β − = ∫ − − ) 1 ,1 1 ( 1 (1 ) 1 1 0 1 1 1 n n n t t dt n n n n n π π sin 。 （4）作变换 tanθ 2 = n x ，则 ∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m ∫ ∫ − − − = = 2 0 2 1 1 2 2 0 1 2 sin cos 2 tan 2 π π θ θ θ θdθ n d n n m n m n m ， 再作变换t = sin2 θ ，得到 ∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m = − = Β − = ∫ − − ( ,1 ) 1 (1 ) 1 1 0 1 n m n m n t t dt n n m n m n m n π π sin 。 （5）作变换 x x t + = 1 ，则 dt t dx t t x 2 (1 ) 1 , 1 − = − = ， 于是 1