·50· 工程科学学报，第38卷，第1期 文m-点X元mry: (29) 2K(R+0-2K(R,)= (4+2)X+ 而式(28)有形式解 +气… 念Rmu+2)究-2R.M+D龙- 2R(4+1)Rm]+…, BY+Bry (30) 消去e0,可得r=Rm处的首阶界面条件： 其中Ynm(n=0,1,2,…:m=0,1,2,…,n)为球函 Tn=Tn-△Go亢， (38) 数，A,B,(i=0,1,2)是时间变量1的某些函数.将式 (29)和式(30)代入式(28)有 元。=u+2)底+CM,n(1-R）(7。+Gm底)- B。 A=-4+2B,=k,46矿 tk-6.（》 1-BRio 从而得 （1-流+4+2成- dr r _论-AGn底 (40) arar a型=LY+(2n+3)K灯 ratw四 (31) 这里 ar 以及 山7 (32) ar 另一方面，由另一种形式的渐近展开 以及一阶界面条件 T=[Tn(r,0,p)+eT(r,0,p)+…]e0, T=T-△G1-△G。, (41) T7s=[Tm(r,6,p)+eT(r,0,p)+…]e0, (,p,）=顶(0g)+e产(，p)+…]e. cm.成o底+成+t+ (33) 腻成]小-益o夜成- 其中σ(t)=o。(t)+o1(t）+….比较式(33)与 式(25)发现： 风-a,元- 产=nea,aw=ne0, 2(u+1）RR-GmR,-Gm产，（42) 7u=(on+7)e.a: (34) =+2底+a[+ 产n=产ne0,=07e0, at In(1-BRi)+CMxIn(1-BRi)GaoR.- 7s1=(o,+7产）e,0: (35) gc成+h-eac成]- Ro=产e,产1=(o序+E)eo, Ri=(Roog:+Roi+R o)e".(.(36) -瓷)o底+o离+a+2底+ R 以及关系 CR台4+2)R+(4+2)RoR- R Ro 1ad=0(0=60+8o0）+. (37) R ot 2SRRu+2）R-2RM+2)Rn底= 由此可见，σ(t)就是半径扰动R(t)随时间变化的相 +at。- r 对变化率.以下将给出σ()的表达式并加以讨论. 将式(25)、(26)、(31)和(32)代入式(22)~ 2n-T0Tu-AGaoR,-AGa Ro. (43) (24),利用式(34)~(36)以及K的渐近展开，得到 这里工程科学学报，第 38 卷，第 1 期 T 槇WL0 = A0 r n + 1Yn，m，T 槇WS0 = B0 r n Yn，m ; ( 29) 而式( 28) 有形式解 T 槇WL1 = A1 r n + 1Yn，m + A2 r n － 1Yn，m， T 槇WS1 = B1 r n Yn，m + B2 r n + 2Yn，m ． ( 30) 其中 Yn，m ( n = 0，1，2，…; m = 0，1，2，…，n) 为球函 数，Ai，Bi ( i = 0，1，2) 是时间变量 t 的某些函数． 将式 ( 29) 和式( 30) 代入式( 28) 有 A2 = A'0 － 4n + 2，B2 = B'0 κT ( 4n + 6) ． 从而得 T 槇WL1 r = － n + 1 r T 槇WL1 － r 2n － 1 T 槇WL0 t ， T 槇WS1 r = n r T 槇WS1 + r ( 2n + 3) κT T 槇WS0 t ． ( 31) 以及 T 槇WL0 r = － n + 1 r T 槇WL0，T 槇WS0 r = n r T 槇WS0 ． ( 32) 另一方面，由另一种形式的渐近展开 T 槇L =［T 槇L0 ( r，θ，φ) + ε T 槇L1 ( r，θ，φ) +…］eσ( t) ， T 槇S =［T 槇S0 ( r，θ，φ) + ε T 槇S1 ( r，θ，φ) +…］e σ( t) ， Ｒ 槇( θ，φ，t) =［Ｒ 槇0 ( θ，φ) + ε Ｒ 槇1 ( θ，φ) +…］eσ( t) ． ( 33) 其中 σ( t) = σ0 ( t) + εσ1 ( t) + …． 比较 式( 33) 与 式( 25) 发现: T 槇WL0 = T 槇L0 eσ0( t) ，T 槇WL0 t = σ' 0T 槇L0 eσ0( t) ， T 槇WL1 = ( σ0T 槇L0 + T 槇L1 ) eσ0( t) ; ( 34) T 槇WS0 = T 槇S0 eσ0( t) ，T 槇WS0 t = σ' 0T 槇S0 eσ0( t) ， T 槇WS1 = ( σ0T 槇S1 + T 槇S1 ) eσ0( t) ; ( 35) Ｒ 槇W0 = Ｒ 槇0 eσ0( t) ，Ｒ 槇W1 = ( σ0Ｒ 槇0 + Ｒ 槇1 ) eσ0( t) ， Ｒ' 槇W1 = ( Ｒ 槇0σ' 0σ1 + Ｒ 槇0σ' 1 + Ｒ 槇1σ' 0 ) eσ0( t) ． ( 36) 以及关系 1 Ｒ 槇 Ｒ 槇 t = σ'( t) = σ' 0 ( t) + εσ' 1 ( t) + …． ( 37) 由此可见，σ'( t) 就是半径扰动 Ｒ 槇( t) 随时间变化的相 对变化率． 以下将给出 σ'( t) 的表达式并加以讨论． 将式( 25 ) 、( 26 ) 、( 31 ) 和 ( 32 ) 代 入 式 ( 22 ) ～ ( 24) ，利用式( 34) ～ ( 36) 以及 K 的渐近展开，得到 2K( ＲB + Ｒ 槇) － 2K( ＲB ) = 1 Ｒ2 B0 ( Λ + 2) Ｒ 槇0 + ε Ｒ3 B0 ［ＲB0 ( Λ + 2) Ｒ 槇1 － 2ＲB1 ( Λ + 1) Ｒ 槇0 － 2Ｒ 槇0 ( Λ + 1) ＲB1］+ …， 消去 eσ0( t) ，可得 r = ＲB0处的首阶界面条件: T 槇L0 = T 槇S0 － ΔG10Ｒ 槇0， ( 38) T 槇S0 = Γ Ｒ2 B0 ( Λ + 2) Ｒ 槇0 + CMK ln( 1 － βＲ'B ) ( T 槇S0 + GSB0Ｒ 槇0 ) － βCMK TSB0 1 － βＲ'B0 σ' 0Ｒ 槇0 － βMK 1 － βＲ'B0 σ' 0Ｒ 槇0 － GSB0Ｒ 槇0， ( 39 ( ) 1 － ΓC Ｒ ) B0 σ' 0Ｒ 槇0 + ΓC Ｒ2 B0 Ｒ'B0 ( Λ + 2) Ｒ 槇0 = ^ k T 槇S0 r － T 槇L0 r － ΔG20Ｒ 槇0 ． ( 40) 这里 GSB0 ( = TSB0  ) r r = ＲB0 ，ΔG10 ( = TLB0 r － TSB0  ) r r = ＲB0 ， ΔG20 ( =  2 TLB0 r 2 － k^  2 TSB0 r 2 ) r = ＲB0 ． 以及一阶界面条件 T 槇L1 = T 槇S1 － ΔG10Ｒ 槇1 － ΔG11Ｒ 槇0， ( 41) CMK [ βTSB0 1 － βＲ'B0 ( σ' 1Ｒ 槇0 + σ' 0Ｒ 槇1 ) + βTSB1 1 － βＲ'B0 σ' 0Ｒ 槇0 + β 2 Ｒ'B1TSB0 ( 1 － βＲ'B0 ) 2σ' 0Ｒ 槇0 ] － βMK 1 － βＲ'B0 ( σ' 1Ｒ 槇0 + σ' 0Ｒ 槇1 ) － β 2 MK Ｒ'B1 ( 1 － βＲ'B0 ) 2σ' 0Ｒ 槇0 － 2Γ Ｒ3 B0 ＲB1 ( Λ + 1) Ｒ 槇0 － 2Γ Ｒ3 B0 ( Λ + 1) ＲB1Ｒ 槇0 － GSB0Ｒ 槇1 － GSB1Ｒ 槇0， ( 42) T 槇S1 = Γ Ｒ2 B0 ( Λ + 2) Ｒ 槇1 + CMK [ － βＲ'B1 1 － βＲ'B0 T 槇S0 + ln( 1 － βＲ'B ) T 槇S1 ] + CMK [ ln( 1 － βＲ'B0 ) GSB0Ｒ 槇1 － βＲ'B1 1 － βＲ'B0 GSB0Ｒ 槇0 + ln( 1 － βＲ'B0 ) GSB1Ｒ 槇0 ] ( － 1 － 2ΓC Ｒ ) B0 ( σ' 1Ｒ 槇0 + σ' 0Ｒ 槇1 ) + ΓC Ｒ2 B0 Ｒ'B0 ( Λ + 2) Ｒ 槇1 + ΓC Ｒ2 B0 Ｒ'B1 ( Λ + 2) Ｒ 槇0 + ΓC Ｒ2 B0 ( Λ + 2) ＲB1σ' 0Ｒ 槇0 － 2ΓC Ｒ3 B0 Ｒ'B0ＲB1 ( Λ + 2) Ｒ 槇0 － 2ΓC Ｒ3 B0 Ｒ'B0 ( Λ + 2) ＲB1Ｒ 槇0 = n ^ k r T 槇S1 + r^ k ( 2n + 3) κT σ' 0T 槇S0 － n + 1 r T 槇L1 － r 2n － 1σ' 0T 槇L0 － ΔG20Ｒ 槇1 － ΔG21Ｒ 槇0 ． ( 43) 这里 · 05 ·