fx)=ax+a-x-+.+a,gx)=bx+bnx-+.+ 是两个本原多项式而 hMx)=f(x)g(x)=dnmx+"+bnmx4m-1+.+d。 是它们的乘积我们用反证法如果h(x)不是本原的，也就是说，(x)的系数dm,d-,d有一异 于士1的公因子，那么就有一个素数P能整除(x)的每一个系数因为∫(x)是本原的，所以p不能同时 整除f(x)的每个系数，令a,是第一个不能被p整除的系数，即 plaoplapa 同样地，g(x)也是本原的，令b,是第一个不能被p整除的系数，即 pla.plbip V6 我们来看h(x)的系数d,由乘积定义 dy=ab,+a4b-1+a42b,-2+.+ab41+a-2b2+. 由上面的假设p整除等式左端的d+,p整除右端a,b,以外的每一项，但是p不能整除.a,b,这是 不可能的这就证明了，(x)一定也是本原多项式 由此我们米证明 定理1如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积那么它 定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 证明设整系数多项式fx)有分解式f(x)=gx)Mx)其中g(x),Mx)是有理系数多项式且 a(g(x))<f(x)).(h(x))<af(x)).f(x)=af(x). g(x)=rg(x).h(x)=sh(x) 这里f(x),g(x),h(x)都是本原多项式，是整数r,s是有理数于是(x)=sg(x)h(x).由定理10， g(x)h(x)是本原多项式，从而s=士a这就是说，s是一整数因此，我们有fx)=(sg,(x)h(x)这 里rSg(x)与h,(x)都是整系数多项式，且次数都低于f(x)的次数 由定理的证明容易得出 推论设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的.如果f(x)=g(x)h(x),其中hx)是有理 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a − = + +  + − , 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + +  + − 是两个本原多项式,而 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m n m n m h x f x g x d x b x d + + − = = + +  + + + − 是它们的乘积.我们用反证法.如果 h x( ) 不是本原的,也就是说, h x( ) 的系数 1 0 , , , n m n m d d d + + −  有一异 于 1 的公因子,那么就有一个素数 p 能整除 h x( ) 的每一个系数.因为 f x( ) 是本原的,所以 p 不能同时 整除 f x( ) 的每个系数,令 i a 是第一个不能被 p 整除的系数,即 0 1 , , , i i p a p a p a −  同样地, g x( ) 也是本原的,令 j b 是第一个不能被 p 整除的系数,即 0 1 , , , j p b p b −  p ∣/ j b 我们来看 h x( ) 的系数 i j d + ,由乘积定义 i j i j i j i j i j i j 1 1 2 2 1 1 2 2 d a b a b a b a b a b + + − + − − + − + = + + +  + + + . 由上面的假设 p 整除等式左端的 i j, d p + 整除右端 i j ab 以外的每一项,但是 p 不能整除. i j ab .这是 不可能的.这就证明了, h x( ) 一定也是本原多项式. 由此我们来证明 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它 一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 证明 设整系数多项式 f x( ) 有分解式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 其中 g x h x ( ), ( ) 是有理系数多项式,且       ( ( )) ( ( )), ( ( )) ( ( )). g x f x h x f x 1 f x af x ( ) ( ) = . 令 1 1 g x rg x h x sh x ( ) ( ), ( ) ( ) = = , 这里 1 1 1 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 都是本原多项式,是整数 r s, 是有理数.于是 1 1 1 af x rsg x h x ( ) ( ) ( ) = .由定理 10, 1 1 g x h x ( ) ( ) 是本原多项式,从而 rs a =  这就是说, rs 是一整数.因此,我们有 1 1 f x rsg x h x ( ) ( ( )) ( ) = 这 里 1 rsg x( ) 与 1 h x( ) 都是整系数多项式,且次数都低于 f x( ) 的次数. 由定理的证明容易得出 推论 设 f x g x ( ), ( )是整系数多项式,且 g x( ) 是本原的.如果 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ,其中h x( ) 是有理