以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之f(x)也可以如此分解 因此，实系数多项式具有标准分解式 fx)=an(x-c)(x-c,)(x2+px+g)卢.(x2+p,x+g,) 其中G,C,A,P,4,4.全是实数，4，人，.，k,是正整数并且 x2+px+qi=1,2,r） 是不可约的，也就是适合条件.p2-4q,<0,1=1,2,r 代数基本定理虽然肯定了n次方程有n个根，但是并没有给出根的一个具体的求法高次方程求根 的问题还远远没有解决特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构 成了计算数学的一个分支，在这里我们就不讨论了， 现在再来看有理数域上一元多项式的因式分解这一节我们主要是指出有理系数多项式的两个重 要的事实第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进 而解决求有理系数多项式的有理根的问愿第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式 设 f(x)=ax"+ax++ao 是一有理系数多项式选取适当的整数c乘f(x),总可以使gf(x)是一整系数多项式如果cf(x)的各 项系数有公因子，就可以提出来，得到gfm)=g()也就是g()=g(x), 其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于士1的公因子，例如 导-2 2 5x- 5r-15r-3知. 如果一个非零的整数多项式g(x)=bx”+bnx-+.+b的系数bn,b,.,九没有异于±1的 公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式上面的分析表明，任何一个非零的有理系数 多项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个原多项式g(x)的乘积，即f(x)=g(x)可以证明，这种 表示法除了差一个正负号是唯一的亦即，如果f(x)=g(x)=片81(x),其中g(x),g1(x)都是本原多项 式那么必有r=圹，g(x)=g(x) 因为f(x)与g(x)只差一个常数倍，所以(x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分 解问题.下面我们进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它 能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的作为准备，我们先证 定理10（高斯引理Gau5s)两个本原多项式的乘积还是本原多项式 证明设以分解成一次与二次不可约多项式的乘积,因之 f x( ) 也可以如此分解. 因此,实系数多项式具有标准分解式 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s r l k k l n s r r f x a x c x c x p x q x p x q = −  − + +  + + , 其中 1 1 1 , , , , , , , , s r r c c p p q q    全是实数, 1 1 , , , , , s r l l k k   是正整数,并且 2 ( 1,2, , ) i i x p x q i r + + =  是不可约的,也就是适合条件. 2 4 0, 1,2, , i i p q i r −  =  代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个根,但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根 的问题还远远没有解决.特别是在应用方面,方程求根是一个重要的问题,这个问题是相当复杂的,它构 成了计算数学的一个分支,在这里我们就不讨论了. 现在再来看有理数域上一元多项式的因式分解.这一节我们主要是指出有理系数多项式的两个重 要的事实.第一,有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进 而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二,在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式. 设 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a − = + +  + − 是一有理系数多项式.选取适当的整数 c 乘 f x( ) ,总可以使 cf x( ) 是一整系数多项式.如果 cf x( ) 的各 项系数有公因子,就可以提出来,得到 cf x dg x ( ) ( ) = 也就是 ( ) ( ) d cf x g x c = , 其中 g x( ) 是整系数多项式,且各项系数没有异于 1 的公因子,例如 2 2 2 4 2 4 2 2 (5 15 3 ) 3 5 15 x x x x x x − − = − − . 如果一个非零的整数多项式 1 1 0 ( ) n n n n g x b x b x b − = + +  + − 的系数 1 0 , , , n n b b b −  没有异于 1 的 公因子,也就是说,它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明,任何一个非零的有理系数 多项式 f x( ) 都可以表示成一个有理数 r 与一个原多项式 g x( ) 的乘积,即 f x rg x ( ) ( ) = 可以证明,这种 表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即,如果 1 1 f x rg x r g x ( ) ( ) ( ) = = ,其中 1 g x g x ( ), ( ) 都是本原多项 式,那么必有 1 1 r r g x g x =  =  , ( ) ( ). 因为 f x( ) 与 g x( ) 只差一个常数倍,所以 f x( ) 的因式分解问题,可以归结为本原多项式的因式分 解问题.下面我们进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它 能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.作为准备,我们先证 定理 10 (高斯引理 Gauss )两个本原多项式的乘积还是本原多项式 证明 设