式于是，因式分解定理在复数域上都可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成 次因式的乘积 因此复系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x-a)(x-a2).(x-a,) 其中4,4，a,是不同的复数，4，,是正整数，标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有》 个复根（重根按重数计算）. 下面来讨论实系数多项式的分解 对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即，如果α是实系数多项式f(x)的复根那么α的共轭 数a也是f(x)的根设 fx)=anx+an-xrl+.+a 其中ao,4,an是实数由假设 f(a)=a,a"+aa+.+a=0. 两边取共轭数，有 f=ana+an-a+.+a=0 这就是说，f(@)=0,a也是f(x)的根 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 次因式与二次不可约因式的乘积 证明 定理对一次多项式显然成立 假设定理对次数<n的多项式已经证明. 设fx)是n次实系数多项式.由代数基本定理，f(x)有一复根a.如果a是实数，那么 fx)=(x-a)f(x),其中(x)是n-1次系数多项式.如果a不是实数，那么a也是f(x)的根且 a≠a,于是 f(x)=(x-aXx-a)f(x) 显然 (x-aXx-a)=x2-(a+a)x+aa 是一实系数二次不可约多项式从而(x)是n-2次实系数多项式由归纳法假定，(x)或(x)可 式.于是,因式分解定理在复数域上都可以叙述成: 复系数多项式因式分解定理 每个次数  1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一 次因式的乘积. 因此,复系数多项式具有标准分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s l l l n s f x a x a x a x a = − −  − 其中 1 2 , , , s a a a  是不同的复数, 1 2 , , , s l l l  是正整数,标准分解式说明了每个 n 次复系数多项式恰有 n 个复根(重根按重数计算). 下面来讨论实系数多项式的分解. 对于实系数多项式,以下的事实是基本的,即,如果  是实系数多项式 f x( ) 的复根,那么  的共轭 数  也是 f x( ) 的根.设 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a − = + +  + − , 其中 0 1 , , , n  a a  是实数.由假设 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a    − = + +  + = − . 两边取共轭数,有 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a    − = + +  + = − 这就是说, f ( ) 0  = , 也是 f x( ) 的根. 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理 每个次数  1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一 次因式与二次不可约因式的乘积. 证明 定理对一次多项式显然成立. 假设定理对次数  n 的多项式已经证明. 设 f x( ) 是 n 次实系数多项式.由代数基本定理, f x( ) 有一复根  . 如果  是实数, 那么 1 f x x f x ( ) ( ) ( ) = − ,其中 1 f x( ) 是 n−1 次系数多项式.如果  不是实数,那么  也是 f x( ) 的根且   .于是 2 f x x x f x ( ) ( )( ) ( ) = − −   显然 2 ( )( ) ( ) x x x x − − = − + +      是一实系数二次不可约多项式.从而 2 f x( ) 是 n − 2 次实系数多项式.由归纳法假定, 1 f x( ) 或 2 f x( ) 可