的定义，显然f(x)在数域中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过n 在上面我们看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义不同的多项式会不会定义出相同的 函数呢？这就是问，是否可能有f(x)≠g(x),而对于P中所有的数a都有f(a)-g(a)?由定理8不难 对这个问题给出一个否定的回答 定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数%，凸2，.，an 有相同的值，即f(a)=g(a),i=l,2,.,n+1,那么f(x)=g(x). 证明由定理的条件有f(a,)-g(a,)=0,i=1,2,.,n+1。这就是说多项式f(x)-g(x)有 n+1个不同的根如果fx)-g(x)≠0，那么它就是一个次数不超过n的多项式，由定理8，它不可能有 n+1个根.因此f(x)=g(x) 因为数域P中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同如果两个多项 式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的 作业：P45,习题17，P46,习题21 顾习：下一节的基本概念 §8复系数与实系数多项式的因式分解，§9有理系数多项式 教学目标：掌握复系数与实系数多项式因式分解定理，本原多项式的定义与性质整系数多项式 的有理根的求法 教学重点：复系数与实系数多项式因式分解定理有理根的求法. 教学方法：讲授法 教学过程 以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题，现在来看一下在复数域与实数域上多项式 分解复数域与实数域既然都是数域，因此前面所得的结论对它们也是成立的.但是这两个数域又有它 们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域，我们有重要的 代数基本定理 每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根 这个定理的证明在本课程中不讲，将来利用复变函数论中的结论，可以很简单地证明。 利用根与一次因式的关系（本章§7定理7推论），代数基本定理显然可以等价地叙述为：每个次数 ≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的换句话说不可约多项式只有一次多项的定义,显然 f x( ) 在数域中根的个数等于分解式中一次因式的个数,这个数目当然不超过 n . 在上面我们看到,每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的 函数呢?这就是问,是否可能有 f x g x ( ) ( )  ,而对于 P 中所有的数  都有 f g ( ) ( )?   = 由定理 8 不难 对这个问题给出一个否定的回答. 定理 9 如果多项式 f x( ) ， g x( ) 的次数都不超过 n ,而它们对 n+1 个不同的数 1 2 1 , , ,   n+ 有相同的值,即 ( ) ( ), i i f g   = i n = + 1,2, , 1 ，那么 f x g x ( ) ( ) = . 证明 由定理的条件有 ( ) ( ) 0 i i f g   − = ， i n = + 1,2, , 1 。这就是说,多项式 f x g x ( ) ( ) − 有 n+1 个不同的根.如果 f x g x ( ) ( ) 0 −  ,那么它就是一个次数不超过 n 的多项式,由定理 8,它不可能有 n+1 个根.因此 f x g x ( ) ( ) = . 因为数域 P 中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项 式定义相同的函数,就称为恒等,上面的结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的 作业: P45,习题 17, P46,习题 21. 预习: 下一节的基本概念 §8 复系数与实系数多项式的因式分解 ,§9 有理系数多项式 教学目标: 掌握复系数与实系数多项式因式分解定理,本原多项式的定义与性质,整系数多项式 的有理根的求法. 教学重点: 复系数与实系数多项式因式分解定理, 有理根的求法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题，现在来看一下在复数域与实数域上多项式 分解.复数域与实数域既然都是数域,因此前面所得的结论对它们也是成立的.但是这两个数域又有它 们的特殊性,所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域,我们有重要的 代数基本定理 每个次数  1 的复系数多项式在复数域中有一根. 这个定理的证明在本课程中不讲,将来利用复变函数论中的结论,可以很简单地证明. 利用根与一次因式的关系(本章§7 定理 7 推论),代数基本定理显然可以等价地叙述为:每个次数  1 的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知,在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项