于是 f(x) /f=p(xp,(p,). 这是一个没有重因式的多项式，但是它与f(x)具有完全相同的不可钓因式因此，这是一个去掉因式重 数的有效办法 直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式的表达式现在，我们 从另一个观点，即函数的观点来考察多项式设 fx)=ax”+ax-+.+an (1) 是Px]中的多项式，a是P中的数，在()中用a代x所得的数aa”+a,a++a,称为fx)当 x=a时的值，记为f(a)这样一来，多项式fx)就定义了一个数域P上的函数可以由一个多项式来 定义的函数称为数域P上的多项式函数当P是实数域时，这就是数学分析中所讨论的多项式函数 因为x在与数域P中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果 h(x)=f(x)+g(x).h(x)=f(x)g(x). 那么 h(a)=f(a)+g(a),h,(a)=f(a)g(a), 利用带余除法我们得到下面常用的定理 定理余数定理)用一次多项式x一去除多项式f(x)所得的余式是一个常数，这个常数等于函 数值f(a) 证明用x-a去除f(x),设商为q(x),余式为一常数c,于是fx)=(x-a)q(x)+C 以a代x得f(a)=c 如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或零点. 由余数定理我们得到根与一次因式的关系」 推论a:是f(x)的根的充分必要条件是(x-afx). 由这个关系，我们可以定义重根的概念.a称为f(x)的k重根，如果(x-a)是f(x)的k重因式. 当k=1时，a称为单根，当k>1时，a称为重根 定理8P八x]中n次多项式在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算。 证明对零次多项式定理显然成立 设∫(x)是一个次数>0的多项式把∫(x)分解成不可约多项式的乘积.由上面的推论与根的重数 于是 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) s f x cp x p x p x f x f x =   . 这是一个没有重因式的多项式，但是它与 f x( ) 具有完全相同的不可约因式.因此,这是一个去掉因式重 数的有效办法. 直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式的表达式.现在,我们 从另一个观点,即函数的观点来考察多项式.设 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a − = + +  + (1) 是 P x[ ] 中的多项式, 是 P 中的数,在(1)中用  代 x 所得的数 1 0 1 n n n a a a   − + +  + 称为 f x( ) 当 x = 时的值,记为 f ( )  .这样一来,多项式 f x( ) 就定义了一个数域 P 上的函数.可以由一个多项式来 定义的函数称为数域 P 上的多项式函数.当 P 是实数域时,这就是数学分析中所讨论的多项式函数. 因为 x 在与数域 P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以不难看出,如果 1 2 h x f x g x h x f x g x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), = + = 那么 1 2 h f g h f g ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),       = + = 利用带余除法,我们得到下面常用的定理: 定理 7(余数定理) 用一次多项式 x− 去除多项式 f x( ) 所得的余式是一个常数,这个常数等于函 数值 f ( )  . 证明 用 x− 去除 f x( ) ,设商为 q x( ) ,余式为一常数 c ,于是 f x x q x c ( ) ( ) ( ) = − +  以  代 x 得 f c ( )  = 如果 f x( ) 在 x = 时函数值 f ( ) 0  = ,那么  就称为 f x( ) 的一个根或零点. 由余数定理我们得到根与一次因式的关系: 推论  是 f x( ) 的根的充分必要条件是 ( ) ( ) x f x − . 由这个关系,我们可以定义重根的概念.  称为 f x( ) 的 k 重根,如果 ( ) x − 是 f x( ) 的 k 重因式. 当 k =1 时,  称为单根;当 k 1 时,  称为重根. 定理 8 P x[ ] 中 n 次多项式在数域 P 中的根不可能多于 n 个,重根按重数计算. 证明 对零次多项式定理显然成立. 设 f x( ) 是一个次数  0的多项式.把 f x( ) 分解成不可约多项式的乘积.由上面的推论与根的重数