(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g'(x).(f(x))=m(f(x)f(x)) 同样可以定义高阶微商的概念.微商f'(x)称为f(x)的一阶微商：f'(x)的微商∫"(x)称为f() 的二阶微商：等等.fx)的k阶微商记为(x) 一个n次多项式的微商是一个n-1次多项式，它的n阶微商是一个常数：它的n+1阶微商等于零 定理6如果不可约多项式P(x)是∫x)的k重式(k≥)，那么它是微商f(x)的k-1重因式 证明由假设，f(x)可以分解为f(x)=p(x)g(x).其中p(x)不能整除g(x).因此 f(x)=p(x)(kg(x)p'(x)+p(x)g'(x)). 这说明p“(x)/"(x).如果令h(x)=g(x)p'(x)+p(x)g(x)那么p(x)整除等式右端的第二项，但不 能整除第一项因此p(x)不能整除h(x),从而p(x)不能整除f"(x).这说明p(x)是f'(x)的k-1重 因式 推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥I),那么p(x)是 f(x).f(x).(x) 的因式，但不是(x)的因式 证明根据定理6，对k作数学归纳法即得. 推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f"(x)的公因 式 证明f(x)的重因式必须是f'(x)的因式，反过来如果f(x)的不可约因式也是f'(x)的因式，它 必定不是f(x)的单因式. 推论3多项式∫(x)没有重因式的充分必要条件是∫(x)与∫"(x)互素 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算一辗转相除法来解决，这个方法 甚至是机械的 有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时我们常常希望所考虑的多项式没有重因式为此， 以下的结果是有用的。 设f(x)具有标准分解式 fx)=cp(x)p2(x).p2(x》 由定理6，f(x)与∫"(x)的最大公因式必须具有标准分解式p(x)p2(x).p(x).1 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ( )) ( ( ) ( )) m m f x g x f x g x f x g x f x m f x f x −      = + = 同样可以定义高阶微商的概念.微商 f x ( ) 称为 f x( ) 的一阶微商; f x ( ) 的微商 f x ( ) 称为 f x( ) 的二阶微商;等等. f x( ) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) k f x . 一个 n 次多项式的微商是一个 n−1 次多项式;它的 n 阶微商是一个常数;它的 n+1 阶微商等于零. 定理 6 如果不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重式 ( 1) k  ,那么它是微商 f x ( ) 的 k −1 重因式. 证明 由假设, f x( ) 可以分解为 ( ) ( ) ( ) k f x p x g x = .其中 p x( ) 不能整除 g x( ) .因此 1 ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) k f x p x kg x p x p x g x −    = + ， 这说明 1 ( ) ( ) k p x f x −  .如果令 h x kg x p x p x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +   那么 p x( ) 整除等式右端的第二项,但不 能整除第一项,因此 p x( ) 不能整除 h x( ) ,从而 ( ) k p x 不能整除 f x ( ) .这说明 p x( ) 是 f x ( ) 的 k −1 重 因式. 推论 1 如果不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式 ( 1) k  ,那么 p x( ) 是 ( 1) ( ), ( ), , ( ) k f x f x f x −   的因式,但不是 ( ) ( ) k f x 的因式. 证明 根据定理 6,对 k 作数学归纳法即得. 推论 2 不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式的充分必要条件为 p x( ) 是 f x( ) 与 f x ( ) 的公因 式. 证明 f x( ) 的重因式必须是 f x ( ) 的因式;反过来,如果 f x( ) 的不可约因式也是 f x ( ) 的因式,它 必定不是 f x( ) 的单因式. 推论 3 多项式 f x( ) 没有重因式的充分必要条件是 f x( ) 与 f x ( ) 互素. 这个推论表明,判别一个多项式有没有重因式,可以通过代数运算—辗转相除法来解决,这个方法 甚至是机械的. 有些时候,特别是在讨论与解方程有关的问题时,我们常常希望所考虑的多项式没有重因式.为此, 以下的结果是有用的. 设 f x( ) 具有标准分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )) s r r r s f x cp x p x p x =  由定理 6, f x( ) 与 f x ( )的最大公因式必须具有标准分解式 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) s r r r s p x p x p x − − − 