二.(9分)判断下面题各个命题的真值,并给予证明或举反例。 1.已知R是A上的反自反的、传递的二元关系,则R也是反对称的 2.<G,>是个群,且|Gi=11,任取ab∈G,且ab不是幺元,设ab的阶分别是m和 n,令A={al,a2,a3,,am},B={bl,b2,b3,,b}.则AcG且BcG 3.令E是非空集合,<P(E),U,∩>是环。(其中P(E)是E的幂集。) 三.(20分)有四个小题 1.写出命题公式(P→Q)→(Q<R)的主合取范式。(符号表示否定) 2.设P表示"今天天气好",Q表示"我们去旅游",用最简单明了的汉语描述下面 命题公式所表达的含义。 (PVQ)→(P∧_Q)∨(-P→Q)∧Q 3.令A={0,1,2,3,4,}B={1,2,4,8,16,…} 表示加法,表示乘法。问:<A,+>与<B,>是否同构?为什么? 4.集合A={a,b,c,d,e,f,g},Rl、R2是A上的等价关系,且已知商集: A/Rl=fa, b, cl, Id, e, g, f)) A/R2={{a,c},{b,d},{e,f,g}} 1)显然R1∩R2是A上的等价关系试求商集A/R∩R2 2)任取x∈A,试给出等价类[x]ane、[x]a以及[x]之间的关系,并证明之。 5.设S={0,1},F是S中的符号构成的长度(即所含符号个数)不超过3的符号串 的集合,即 λ,0,1,00,01,10,11,00,001,010,011,100,101,110,111 其中λ表示空符号串(即没有字符的符号串,A的长度为0),在F上定义关系 R如下:对于任何x,y∈F x,y>∈R台x是y的前缀 例如0是00,01的前缀,但是01不是001的前缀.显然R是F上的偏序关系 1.画出R的哈斯图 2.求F的极小元和最大元 四.(12分)用谓词逻辑推理方法,证明下面推理的有效性. (要求按照教材规定的格式,书写推理过程) 彐xP(x)>lx(P(x)Q(x))>R(x)),xP(x),xQ(x)→丑xy(R(x)AR(y) 五.(6分)证明由格<A,≤>诱导的代数系统<A,∧,V>中满足吸收律 六.(15分)设<G,>是群,a∈G,定义函数fG→G为 任何x∈G有f(x)=ax 1求证faG→G是入射的 2.设F={fsG→G|a∈G},即F是G中所有元素a定义的函数构成的集合 令“。”是函数的左复合运算,求证<F,。>是个群二．（9 分）判断下面题各个命题的真值，并给予证明或举反例。 1. 已知 R 是 A 上的反自反的、传递的二元关系，则Ｒ也是反对称的. 2．<G, >是个群,且|G|=11, 任取 a,b∈G, 且 a,b 不是幺元, 设 a,b 的阶分别是 m 和 ｎ，令 A={a1 ,a2 ,a3 ,…,am},B={b1 ,b2 ,b3 ,…,bn}. 则 AG 且 BG。 3． 令 E 是非空集合， <P(E),∪,∩>是环。 (其中 P(E)是 E 的幂集。) 三．（20 分）有四个小题 1．写出命题公式(P→Q)→¬(QR) 的主合取范式。(符号¬表示否定) 2．设Ｐ表示"今天天气好"，Ｑ表示"我们去旅游"，用最简单明了的汉语描述下面 命题公式所表达的含义。 (((P∨Q)→(P∧Q))∨(P→Q))∧Q 3．令Ａ={0,1,2,3,4,....} B={1,2,4,8,16,... } ＋表示加法， 表示乘法。问：<Ａ，＋>与<Ｂ， >是否同构？为什么？ 4. 集合Ａ＝{a,b,c,d,e,f,g}，R1、R2 是 A 上的等价关系,且已知商集: A/R1={{a,b,c},{d,e,g,f}} A/R2={{a,c},{b,d},{e,f,g}} 1）显然 R1∩R2 是 A 上的等价关系 试求商集 A/R1∩R2. 2）任取 x∈A，试给出等价类[x]R1∩R2、[x]R1以及[x]R2之间的关系，并证明之。 5.设 S={0,1},F 是 S 中的符号构成的长度（即所含符号个数）不超过 3 的符号串 的集合,即 F={λ,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111} 其中λ表示空符号串(即没有字符的符号串,λ的长度为 0), 在 F 上定义关系 R 如下: 对于任何 x,y∈F <x,y>∈R  x 是 y 的前缀. 例如 0 是 00,01 的前缀,但是 01 不是 001 的前缀. 显然 R 是 F 上的偏序关系. 1．画出 R 的哈斯图. 2．求 F 的极小元和最大元. 四．(12 分)用谓词逻辑推理方法,证明下面推理的有效性. (要求按照教材规定的格式,书写推理过程) xP(x)→x((P(x)Q(x))→R(x)) , xP(x), xQ(x) xy(R(x)R(y)) 五．(6 分)证明由格<A,≤>诱导的代数系统<A,∧,∨>中满足吸收律。 六．.(15 分)设<G , >是群, a∈G ,定义函数 fa:G→G 为: 任何 x∈G 有 fa(x)=a x 1.求证 fa:G→G 是入射的. 2. 设 F={ fa:G→G | a∈G}, 即 F 是 G 中所有元素 a 定义的函数构成的集合. 令“” 是函数的左复合运算, 求证<F, > 是个群