§16.2两端固定弦的强迫振动 第4页 §16.2两端固定弦的强迫振动 齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用:因为方程和边界条件 是齐次的,分离变量才得以实现 如果定解冋题中的方程和边界条件不是齐次的,还有没有可能应用分离变量法? 定解问题 f(x,t),0<x<l,t>0, t≥0 0,0≤x≤l 为了突出对于方程非齐次项的处理,这里研究纯粹由外力引起的两端固定弦的强迫振动,弦的初 位移和初速度均为0 基本解法一方程和边界条件同时齐次化 (x,t)=v(x,t)+(x,t) 在将非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解u(x,t).适用于f(x,t)形式比较简单的情形 解按照求解非齐次方程的一贯做法,先求得非齐次方程的一个特解v(x,t) an=f(r, t) 这样,如果设u(x,t)=v(x,t)+u(x,t),则 0x2 u=0=0a f(a, t) x=0 0 0 t=0 旦求得了特解υ(x,t),就可以求出u(x,t)的一般解Wu Chong-shi §16.2 ÙÚ ÛÜÝÞßàáâ ã 4 ä §16.2 ☞åæ✒ç✑èéêë ìíîïðñò①ìíóôõö÷ð øùúû üýþ ÿ￾✁✂✄❹❺ñò①óôõö ⑧ìí⑦ ✛ ð øùú ☎✆ ✝✞✟✵ ✠✡☛➂ ❽❾ ü⑦ñò①óôõö⑤⑧ìí⑦ ✛☞❿✌❿✍✎✏✂ð øùúû ✑ ✖✗✘✙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), 0 < x < l, t > 0, u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0, u   t=0 = 0, ∂u ∂t     t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✇❆✒➧ ➤↔ ✣✤✓❧♠✔✰✕✖✛ ❃❄✗✘✙✚ ✷✛✜✮➏✰❋✢ ✣ ✲✤✰✥✦✧★✛✤✰➺ ✩✪❈➺✫✬✭✇ 0 ✵ ✮ ❲ ✗✯✰ ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ➮ P ✓❧♠✣✤❧♠✽✰✶✭✛▲▼✾✿❀❊ ✰❧♠✸✹✺✻❮✧✵ ❦❁✰ ➣❂ ➑➮↔ ➦ ✩ ➵❦ v(x, t) ✵ ❃ ❐ ↔ f(x, t) ➫➭ ❄❅❆❇✰ ➩➫✵ ✗ ❈❉➦❦✓❧♠✣✤✰❁❊❋❁✛●➦ ✩ ✓❧♠✣✤✰❁● ➵❦ v(x, t) ✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t). ⑨❍ ✛✠✡■ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) ✛ ❏ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t) u   x=0 = 0 u   x=l = 0 u   t=0 = 0 ∂u ∂t     t=0 = 0 = ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t) v   x=0 = 0 v   x=l = 0 + ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0 w   x=0 = 0 w   x=l = 0 w   t=0 = −v   t=0 ∂w ∂t     t=0 = − ∂v ∂t     t=0 ❑▲▼✆ ◆❖➂ v(x, t) ✛P✍ ✝▼ ◗ w(x, t) ⑦❑❘➂ w(x, t) = X∞ n=1  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x