设o(x,y)=f(x,y)-g(xy),将D划分成n个小区域△D(=12,…,n), 利用不等式|=b--叫=ka-b)-(c-d)≤-4+-,可得 1(q)≤o1(O+1(g)(=1,2,…,n), 于是 01(H)≤O1()+O1(g)(=1,2,…,n), 所以 0≤∑0(H)AG1s∑a()△a1+∑o(g)△a, i=1 由f,g在D上可积,可知 im∑o(H)△G1=0, 即H(x,y)=max{f(x,y),g(x,y)}在D上可积。 类似地可得 O1(h)≤1()+o(g)(=1,2,…,n), 从而得到h(x,y)=mn{(x,y),g(x,y)}在D上也可积设ϕ(x, y) = f (x, y) − g(x, y) ，将D划分成n个小区域 D (i 1,2, , n) ∆ i = " ， 利用不等式 a − b − c − d ≤ (a − b) − (c − d) ≤ a − c + b − d ，可得 ( ) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ϕ ≤ ωi +ωi = " ， 于是 (H) ( f ) (g) (i 1,2, ,n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 所以 ∑ ∑ ∑ = = = ≤ ∆ ≤ ∆ + ∆ n i i i n i i i n i i H i f g 1 1 1 0 ω ( ) σ ω ( ) σ ω ( ) σ ， 由 f , g 在D上可积，可知 lim ( ) 0 1 0∑ ∆ = = → n i ωi H σ i λ ， 即H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)}在D上可积。 类似地可得 (h) ( f ) (g) (i 1,2, , n) ωi ≤ ωi +ωi = " ， 从而得到h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)}在D上也可积。 3