习题5 1.设∫(x0)>0,∫(x0)<0,证明x0是f(x)的极小值点。 2.( Darboux定理)设∫(x)在(a,b)上可导,x,x2∈(a,b)。如果∫(x1)f'(x2)<0 证明在x1和x2之间至少存在一点ξ,使得f'()=0 3.举例说明 Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时,定理结论就有可能不成立 4.设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可微。利用辅助函数 x f(x) b f(b)1 证明 Lagrange中值定理,并说明v(x)的几何意义 5.设函数∫(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存在一点ξ 使得 f(a)f(b) f(a)f(5) g(a)g(b) 6.设非线性函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)上至少存在一点n, 满足 lf'(n)|> ∫(b)-f(a) 并说明它的几何意义 7.求极限limn2 arctan=- arctan 其中a≠0为常数 8.用 Lagrange公式证明不等式: (1)sin x-sin y<x-y; (2)my(x-y)<x-yn<nx"(x-y)(n>1,x>y>0) In (b>a>0) b (4) 1+x(x>0) 9.设f(x)在[a,b]上定义,且对任何实数x1和x2,满足 f(x1)-f(x2)|(x1-x2)2, 证明f(x)在[a,b]上恒为常数。 10.证明恒等式 (1) arcsin x+ arccosx= 2’x∈0,1 (2)3 arccos x- arccos(3x-4x3)=兀,x∈ (3) 2 arc tan x+arcsin =丌,x∈l,+o 1l.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除至多有限个点 有∫(x)=0之外,都有∫(x)>0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;同时举例说 明,其逆命题不成立 12.证明不等式习 题 5.1 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f (x)的极小值点。 2．（Darboux 定理）设 f (x)在( , a b)上可导，x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0 ， 证明在 x1 和 x2 之间至少存在一点ξ ，使得 f ′( ) ξ = 0 。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。 4. 设函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明 ψ(x) 的几何意义。 5． 设函数 和 在[ , 上连续，在( , 上可导, 证明( , 内存在一点ξ ， 使得 f (x) g x( ) a b ] a b) a b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 6．设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上至少存在一点 η ， 满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中 a ≠ 0 为常数。 8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y | ; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − < < − b a a b a a b b b a ; ⑷ e > 1+ x (x > 0). x 9． 设 f x( )在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 x2 ，满足 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − 2 ， 证明 f x( )在[ , a b ]上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； ⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ， x ∈[ , 1 +∞). 11．设函数 在[ , 上连续，在( , 上可导。证明：若( , 中除至多有限个点 有 之外，都有 ，则 在[ , 上严格单调增加；同时举例说 明，其逆命题不成立。 f (x) a b ] a b) a b) f x ′( ) = 0 f x ′( ) > 0 f (x) a b ] 12． 证明不等式： 1