习题10.3幂级数 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 (2)21+1+…+-x-1)”; In(n n+ n=2 n (8) (n)2 (2n)! ∑ (2n)! (2n+1) 解(1)设∑3+2)x”=∑anx”,m=3,所以收敛半径为R=1。 当x=时,∑anx=∑1+(-2y门,级数发散。 当x=-时,∑anx"=∑-(-12+(2)],级数收敛。 n=l n 所以收敛区域为D 33 (2)设∑(+2+…+x-y=a1(-1),mp=1,所以收敛半 径为R=1 当x=2时,(y(++,级数发散 当x=0时,∑a(x-1y=∑(-1+1+…+1),通项不趋于零,级 数也发散。 所以收敛区域为D=(0.2)习 题 10. 3 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 解（1）设∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ∑ ∞ = = n 1 n n a x ，lim = 3 →∞ n n n a ，所以收敛半径为 3 1 R = 。 当 3 1 x = 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = + − 1 ) ] 3 2 [1 ( 1 n n n ，级数发散。 当 3 1 x = − 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = − + 1 ) ] 3 2 [( 1) ( 1 n n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D 。 （2）设 n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1。 当 x = 2时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 1 1 2 1 1 n n " ，级数发散。 当 x = 0时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + 1 1 2 1 ( 1) 1 n n n " ，通项不趋于零，级 数也发散。 所以收敛区域为D = (0,2)。 52