习题三 在以下各题中,可测集,可测函数和测度,除题目中已有说明的外,都是关于某一给 定的可测空间(X,分)或测度空间(X,,p)的 1.试分别给出具有如下性质的可测空间(X,) (1)X上的每个函数都是可测的 (2)只有常数函数是可测的 2.证明:(1)若∫在E上可测,则对E的任意可测子集A,∫在A上可测 (2).若E1和E2是可测集,∫在E1和E2上可测,则∫在E1∪E2上可测 3.设∫是R上的函数证明∫是L可测的当且仅当对任意有理数r,{f<r}是 L可测集.若把条件减弱为对任意有理数r,{∫=r}是L可测集,∫是否一定是L可测的? 4.设∫和g都是可测函数,并且g(x)处处不等于零.证明是可测函数 5.作出1上的一个函数f使得是L可测的,但∫不是L可测的 6.证明若∫2可测,{f≥0}是可测集则∫可测 7.设∫为完备的测度空间(X,,)上的可测函数,g为X上的函数.若 f=gae,则g是可测函数当(X,J,)不完备时,结论是否成立? 8.证明函数 x3若x为有理数 √x若x为无理数 是[O,1上的L可测函数 9.设f是(X,丌)上的实值可测函数,g是R上的 Borel可测函数证明复合函数 g((x))是(X,)上的可测函数 10.设∫和g是(x,)上的两个实值可测函数,h是R2上的连续函数,证明复合函 数h(,g)是(X,J)上的可测函数 11.设∫是定义在(a,b)上的函数若∫在每个[a,Bc(a,b)上是L可测的,则 ∫在(a,b)上是L可测的 12.设∫是[a,b]上的可微函数.证明∫是[a,b]上的L可测函数 13.设∫是R上的L可测函数证明对任意y∈R",f(x+y)是R”上的L可测 提示:先设∫=lA是特征函数 14.举例说明,一族可测函数{f∈}的上确界函数∫=Supf不一定可测 15.举例说明,若∫是R上的L可测函数,A是R中的L可测集,f-(4)不93 习 题 三 在以下各题中, 可测集, 可测函数和测度, 除题目中已有说明的外, 都是关于某一给 定的可测空间(X , F ) 或测度空间(X , F ,µ) 的. 1. 试分别给出具有如下性质的可测空间(X , F ): (1) X 上的每个函数都是可测的. (2) 只有常数函数是可测的. 2. 证明: (1).若 f 在 E 上可测, 则对 E 的任意可测子集 A , f 在 A 上可测. (2). 若 E1和 E2 是可测集, f 在 E1和 E2 上可测, 则 f 在 E1 ∪ E2 上可测 3. 设 f 是 1 R 上的函数. 证明 f 是 L 可测的当且仅当对任意有理数 r, { f < r}是 L 可测集. 若把条件减弱为对任意有理数 r, { f = r}是 L 可测集, f 是否一定是 L 可测的? 4. 设 f 和 g 都是可测函数, 并且 g(x) 处处不等于零. 证明 g f 是可测函数. 5. 作出[0,1]上的一个函数 f, 使得 f 是 L 可测的, 但 f 不是 L 可测的. 6. 证明若 2 f 可测, { f ≥ 0}是可测集. 则 f 可测. 7. 设 f 为完备的测度空间 (X , F ,µ) 上的可测函数, g 为 X 上的函数. 若 f = g a.e., 则 g 是可测函数. 当(X , F ,µ) 不完备时, 结论是否成立?. 8. 证明函数     = . , ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 是[0, 1]上的 L 可测函数. 9. 设 f 是(X , F ) 上的实值可测函数, g 是 1 R 上的 Borel 可测函数. 证明复合函数 g( f (x)) 是(X , F ) 上的可测函数. 10. 设 f 和 g 是(X , F ) 上的两个实值可测函数, h 是 2 R 上的连续函数. 证明复合函 数 h( f , g) 是(X , F ) 上的可测函数. 11. 设 f 是定义在(a,b)上的函数. 若 f 在每个[α, β ] ⊂ (a,b) 上是 L 可测的, 则 f 在(a,b)上是 L 可测的. 12. 设 f 是[a,b]上的可微函数. 证明 f ′是[a,b]上的 L 可测函数. 13. 设 f 是 n R 上的 L 可测函数. 证明对任意 y ∈ , n R f (x + y) 是 n R 上的 L 可测 函数. 提示: 先设 A f = I 是特征函数. 14. 举例说明, 一族可测函数{ f : t I} t ∈ 的上确界函数 t t I f f ∈ = sup 不一定可测. 15. 举例说明, 若 f 是 1 R 上的 L 可测函数, A 是 1 R 中的 L 可测集, ( ) 1 f A − 不