定是L可测集 提示:利用§31例6中的结果 16.设(X,)是一可测空间,f(x,1)是定义在X×[O,1上的函数若对每个 t∈[0,1],f(x,1)对x可测,对每个x∈X,∫(x,1)对t连续,证明g(x)=maxf(x,t) 是可测函数 17.证明§3.1定理7和定理 18.设∫和g是定义在R上的两个连续函数证明若∫和g(关于L测度)几乎处 处相等,则∫和g处处相等 19.设∫和g是(0,1)上单调减少的左连续函数.若对任意c∈R总有 m({f≥c})=m({g≥c}),证明∫(x)=g(x),x∈(0,1) 20.设/是有限测度空间(x,,)上的ae有限的可测函数.证明对任意δ>0,存 在可测集ACX,使得m(X-A3)<δ,并且在A3上,∫有界 21.设{n}是一列可测函数.证明A={x: lim f, c(x)存在并且有限}是可测集 22.设(厂n)是可测函数列证明 (1)若fn->f,ng,则f=g,ae 若fn-“>f,厂n->g,则∫=g 23.证明:(1)若fn=>f,则f->∫ (2)若fn—题→f,则fn 24.证明若∫—“>f,则 lim f≤f≤ lim f,,ae. 25.证明若fn-“>f,gn>g,则 (1)f" (2)afn-“>af.(a是常数) (3)Jn+gn-→f+g ).若(X) g g 26.设∫n∫,fn≤fae.(n≥1)证明fn->f 27.设{E}是一列可测集使得∑川(Ek)<+∞,若在每个Ek上fn→f,证明 在E=UEk上fn-2>∫ 28.设∫是几乎处处有限的可测函数.证明存在有界可测函数列{fn},使得 fr94 一定是 L 可测集. 提示: 利用 3.1 例 6 中的结果.. 16. 设(X , F ) 是一可测空间, f (x,t) 是定义在 X ×[0, 1]上的函数. 若对每个 t ∈[0, 1], f (x,t) 对 x 可测, 对每个 x ∈ X , f (x,t) 对t 连续, 证明 ( ) max ( , ) 0 1 g x f x t ≤t≤ = 是可测函数. 17. 证明 3.1 定理.7 和定理.8. 18. 设 f 和 g 是定义在 1 R 上的两个连续函数. 证明若 f 和 g (关于 L 测度)几乎处 处相等, 则 f 和 g 处处相等. 19. 设 f 和 g 是(0,1) 上单调减少的左连续函数. 若对任意 c ∈ 1 R 总有 m({ f ≥ c}) = m({g ≥ c}), 证明 f (x) = g(x), x ∈ (0,1). 20. 设f是有限测度空间(X , F ,µ) 上的a.e.有限的可测函数. 证明对任意δ > 0, 存 在可测集 A ⊂ X , δ 使得 ( ) δ , m X − Aδ < 并且在 Aδ 上, f 有界. 21. 设{ }n f 是一列可测函数. 证明 A {x :lim f (x) n n→∞ = 存在并且有限}是可测集. 22. 设( ) n f 是可测函数列. 证明: (1) 若 , , , a.e. a.e. a.e. f f f g f g n → n → 则 = (2) 若 f f , f g, n →µ n →µ 则 f = g, a.e. 23. 证明: (1) 若 , a.un. f f n → 则 . a.e. f f n → (2) 若 , a.un. f f n → 则 f f . n →µ 24. 证明若 f f , n →µ 则 lim lim , a.e. n n n n f f f →∞ →∞ ≤ ≤ 25. 证明若 f f , g g, n →µ n →µ 则 (4). ( ) , . (3). . (2). . ( ) (1). , X f g fg f g f g f f f f n n n n n n < +∞ → + → + → → µ µ µ µ µ α α α 若 则 是常数 26. 设 f f , n →µ a.e. ( 1). f n ≤ f n+1 n ≥ 证明 . a.e. f f n → 27. 设{ } Ek 是一列可测集使得 ( ) . 1 ∑ ∞ = < +∞ k µ Ek 若在每个 Ek 上 f f , n →µ 证明 在 U ∞ = = k 1 E Ek 上 f f . n →µ 28. 设 f 是几乎处处有限的可测函数. 证明存在有界可测函数列{ }, n f 使得 f f . n →µ