3 1 -2 +5 1 3 1 -2 1 4 3 -1 0 1 2 1 2 -4 -8 3 0 2 -6 -4 3 1 -5 0 -2 1 31 -2 -3 「131 -2 -3 3+月 乃+灯 0 12 1 -1 2+r 0 12 1 -1 0 00 ) 0 00 Y 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 非零行的行数为3，所以R(C)=3。 8证明：A是可逆矩阵的充分必要条件是A必是满秩矩阵。 证明： A可逆台A≠0台A是满秩矩阵。 所以，A是可逆矩阵的充分必要条件是A必是满秩矩阵。 1 -1 2 9.求入的值，使矩阵A= -1 J 的秩最小。 1 10-6 1 2- 解：从矩阵A可看出其2阶子式 =21≠0所以2≤R(A)≤3 1 0 对A作初等行变换 1 2 -12 -1 27 -1 2 2+ +奶 2 -1 5 0 -1-2元元+2 1 → 0 -1-2元1+21 -万+5 -+ 1 10 -6 1 0 10-元 -5 -1 0 -3(元-3)元-30 入=3时， 「1 -1 2 1 3-12 0 -1-2 +2 0 -7 5 0-3(2-3) 元-300 000 非零行的行数为2，所以R(A)=2。此时A的秩最小。 l0.设A是n阶方阵，证明：当R(A)=n时，R(A)=n,当R(A)<n-1时， R(A)=0。 证明：当R(A)=n时，则A可逆，且A1= 1A,即A也可逆，R(A)n。 A 当R(A)<-1时，即R(A)≤n-2,可知A的任意(n1)阶子式必为0，也就是A是零 矩阵，所以R(A)=O。 11.求解齐次线性方程组：1 2 1 3 1 4 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 4 3 1 4 0 1 2 1 1 2 3 4 8 3 0 3 6 4 3 3 8 1 5 8 0 1 2 1 1 r r r r r r − + − + − +     − − − −     − − −     →     − − − − − −         − − − − 2 3 2 4 3 4 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 r r r r r r + + +     − − − −     − − → →         − −         非零行的行数为 3，所以 R（C）=3。 8.证明：A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 必是满秩矩阵。 证明： A 可逆  |A|≠0  A 是满秩矩阵。 所以，A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 必是满秩矩阵。 9.求λ的值，使矩阵 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 A     −   = −       − 的秩最小。 解：从矩阵 A 可看出其 2 阶子式 2 1 21 0 1 10 − =  所以 2≤R（A）≤3 对 A 作初等行变换 1 2 2 3 1 3 1 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 5 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 10 6 1 0 10 5 1 0 3( 3) 3 0 r r r r r r r r            − + + − + − +       − − −       − → − − + → − − +                   − − − − − − − λ=3 时， 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 1 0 7 5 1 0 3( 3) 3 0 0 0 0 0          − −     − − + = −             − − − 非零行的行数为 2，所以 R（A）=2。此时 A 的秩最小。 10.设 A 是 n 阶方阵，证明：当 R（A）=n 时，R（A ※）=n，当 R（A）<n-1 时， R（A ※）=0。 证明：当 R（A）=n 时，则 A 可逆，且 1 1 | | A A A −  = ，即 A ※也可逆，R（A ※）=n。 当 R（A）<n-1 时，即 R（A）≤n-2，可知 A 的任意（n-1）阶子式必为 0，也就是 A ※是零 矩阵，所以 R（A ※）=0。 11.求解齐次线性方程组：