定理53=0为f(=)的m阶极点的充要条件是:=0是 的m阶零点。 f() 例54求(2)=1的孤立奇点并指出其类型 cOs 解显然f(-)的奇点是满足cosz=0的点,这些点是 f(=)=kx+(k=0,±±2,…)。 因为(osyl=2 sin k 1)“≠0,所以 kx+k=0.土1±2…)是cos的一阶零点,从而是一1的一阶极点 cOS 值得注意的是,在考察形如三的函数的极点时,不能仅凭Q()的零点的阶数来断定整个函 数极点的阶数,还要考察P()在这些点的情况,一般地,若Q()的零点不是P(=)的零点,则可由 Q()的零点的阶数判定已的极点的阶数:()的零点也是P()的零点,则不能仅凭Q()的零 点的阶数判定 P(= 的极点的阶数 例如,函数∫(=)= 的分母在z=0处有二阶零点,但同时z=0为e2-1的一阶零点,因 此z=0并不是f(=) 的二阶极点。事实上 N2=1(+n12+…)=+元1+…,所 以二=0是f(=) 的一阶极点 5.1.3孤立奇点∞的定义及分类 若∫()在无穷远点∞的某一去心邻域D:R<zk<+∞内解析,则称∞为f(-)的孤立奇点 在D内,f()有罗朗级数展式 (5.5) 令z=-,则f(-) 在区域0<wk一内解析,从而W=0是 q()的孤立奇点,且其罗朗级数展式是定理5.3 z 0 为 (zf )的 阶极点的充要条件是： 是 m 0 z ( )zf 1 的m 阶零点。 例 5.4 求 f ( )z = cos z 1 的孤立奇点并指出其类型。 解 显然 ( )zf 的奇点是满足cos 0 z = 的点，这些点是 ( ) 2 fz k π = + π ( 0, 1, 2, ) k = ±± L 。 因为(cos )z ′ k =zz| = −sin z k =zz| sin 2 k π π ⎛ ⎞ =− + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 1 1 k+ − ≠ 0 ， 所以 k z = + kπ 2 π k = ±± 0, 1, 2, ) L 是cosz 的一阶零点，从而是 cos z 1 的一阶极点。 值得注意的是，在考察形如 ( ) ( )zQ zP 的函数的极点时，不能仅凭 (zQ )的零点的阶数来断定整个函 数极点的阶数，还要考察 在这些点的情况，一般地，若 ( )zP (zQ )的零点不是 的零点，则可由 的零点的阶数判定 ( )zP ( )zQ ( ) ( )zQ zP 的极点的阶数； (zQ )的零点也是 (zP )的零点，则不能仅凭 的零 点的阶数判定 ( )zQ ( ) ( )zQ zP 的极点的阶数。 例如，函数 f ( )z = 2 1 z e z − 的分母在 z = 0处有二阶零点,但同时 z = 0为 的一阶零点，因 此 并不是 1 z e − z = 0 ( )zf 2 1 z e z − = 的二阶极点。事实上， 2 1 z e z − 2 1 (z z = + 1 2 ) 2! z +L = z 1 1 2! + +L，所 以 是 z = 0 ( )zf 2 1 z e z − = 的一阶极点。 5.1.3孤立奇点∞ 的定义及分类 若 在无穷远点 的某一去心邻域 ( )zf ∞ DR z : || < < +∞ 内解析，则称∞ 为 的孤立奇点。 在 内， 有罗朗级数展式 ( )zf D ( )zf f ( )z = ∑ 。 (5 +∞ n −∞= n n zc .5) 令 1 z w = ，则 f ( )z = 1 f w ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，函数 ϕ (w) 1 f w ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 在区域 1 0| | w R < < 内解析，从而 w = 0 是 ϕ ( ) w 的孤立奇点，且其罗朗级数展式是