9()=2 定义52称z=0为f()的可去奇点、m阶极点或本性奇点,如果相应地W=0是o()的 可去奇点、m阶极点或本性奇点。 由式(56)*可知: 如果当n>0时,cn=0,则=0为q()的可去奇点,从而二=为/()的可去奇点 2若对正整数m,Cn≠0;而当n>m时,cn=0,则W=0是q(v)的m阶极点,于是z=∞ 为()的m阶极点 3若存在无限多个n>0,使得cn≠0,则=0是o()的本性奇点,那么z=是f()的 本性奇点 定理54设函数八()在区域R<xk+O内解析,那么z=∞是/()的可去奇点、极点、本 性奇点的必要与充分条件相应地是:limf()=c(常数)、limf(2)=∞、limf(=)不存在也不为 例55判定下列函数在z=∞处奇点的类型。 (a)f(=) (b)f(=) 1-e coS ()f(-) 解(a)因为imf()= lim cos-,=1,故z=∞为函数f(二)=cos-,的可去奇点 设 则g(y) =21-e|,而img(n)不存在,因此y=0为g(m) 的本性奇点,故二=∞为f(-) 的本性奇点 () 则() SInw SIn M SInw= 因为limw3 = lm 所以W=0是o(w)的三阶极点,从而z=∞是∫()=sin的三阶极点 52留数的一般理论 52.1留数的定义及计算 设∫(=)在D:0<--0k<R内的罗朗级数展式为 ()=∑c(x-)=∑(-)+c(-=)yϕ ( ) w n n n c w +∞ =−∞ = = ∑ 0 n n n c w −∞ − = ∑ 1 n n n c w +∞ − = +∑ (5.6) 定义5.2 称 z = ∞ 为 的可去奇点、 ( )zf m 阶极点或本性奇点，如果相应地 是 w = 0 ϕ (w) 的 可去奇点、 m 阶极点或本性奇点。 由式(5.6) *可知： 1 。 如果当n > 0 时， ，则 0 n c = w = 0 为ϕ (w) 的可去奇点，从而 z = ∞ 为 的可去奇点。 ( )zf 2。 若对正整数 ， ；而当 时， m 0 mc ≠ n m> 0 n c = ，则 w = 0 是ϕ (w) 的 阶极点， m 于是 z = ∞ 为 的 阶极点。 ( )zf m 3 。 若存在无限多个 n > 0 ，使得 0 n c ≠ ，则 w = 0 是ϕ (w) 的本性奇点，那么 是 z = ∞ (zf )的 本性奇点。 定理5.4 设函数 (zf )在区域 R z < < +∞ | | 内解析，那么 z = ∞ 是 (zf )的可去奇点、极点、本 性奇点的必要与充分条件相应地是：lim ( ( ) z f z c →∞ = 常数 、) lim ( ) z f z →∞ = ∞、 不存在也不为 。 ( )zf z ∞→ lim ∞ 例5.5 判定下列函数在 z = ∞ 处奇点的类型。 ( ) a f ( )z = 1 1 cos z − ； ( ) b f (z) = 2 1 z e z − ； (c) f (z) = z z 1 sin 4 。 解 (a) 因为 ( )zf z ∞→ lim 1 lim cos 1 z→∞ z 1 = = ∞ 为函数 f (z) = 1 1 cos z − z = 的可去奇点 − ，故 ( ) b 设 w = z 1 ，则ϕ ( ) w 1 f w ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 w ew ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ，而 ( ) 0 limw ϕ w → 不存在，因此 为 w = 0 ϕ ( ) w 的本性奇点，故 为 z = ∞ f ( )z = 2 1 z e z − 的本性奇点。 ( ) c 令 1 z w = ，则ϕ ( ) w 1 f w ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 1 sin w w 4 sin w w = 。因为 3 4 0 sin limw w w → w = 0 sin lim 1 w w → w = , 所以 是 的三阶极点，从而 w = 0 ϕ ( ) w z = ∞ 是 f (z) = z z 1 sin 4 的三阶极点。 5.2留数的一般理论 5.2.1 留数的定义及计算 设 在 ： ( )zf D 0 0| | < zz R − < 内的罗朗级数展式为 ( )zf ( ) 0 n n n czz +∞ =−∞ = − = ∑ ( ) −∞ −= − 1 0 n n n ∑ zzc ( ) 0 0 n n n czz +∞ = + − ∑