2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 所以f(x)是严格单减的,对b>a>e,有(b)<f(a),即bN0八 调整得 alnb<blna,即lnb°<lhab 由对数函数的性质得: 例4.43已知函数∫(x)具有二阶连续导数,f(0)=f(1)=0。证明当x∈[0,]时, (x)≤max{f(x) 【证】va∈[0,,将∫(x)在x=a处展开为 f(x)=/(a)+f(ax-a)+fx-a)(5在ax之间) 分别令x=1和x=0得到 0=f()=f(a)+f(a)-a)+fv(:)1-a)其中∈(a1), 0=f(0)=f(a)+f(a)-a)+f52a)其中2∈(0,a),两式相减并移项整理 r(a)=-()-a)-r62x2) 当a=0或a=1时,f(a=)或(a)=(2),原不等式的等号成 当a∈(0,1)时,由三角不等式得到 f(a≤x"5)-a)+)2 令5=max{"(米 其中ξ∈(0,1)。因此 raos(米-a)+a2)=r(x≤ maxi/(x) 再由a是[01上任意一点,所以f(x)≤方max7(x) 例444设δ>0,f(x)在区间(-6,0)内有定义,若当x∈(-6,δ)时,恒有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 所以 f (x) 是严格单减的，对b > a > e,有 f (b) < f (a) ，即 a a b ln b ln < ， 调整得 a b a lnb < bln a,即lnb < ln a ， 由对数函数的性质得： 。 b a a > b 例 4.43 已知函数 f (x) 具有二阶连续导数， f (0) = f (1) = 0 。证明当 x ∈[0,1]时， max{ ( )} 2 1 ( ) [0,1] f x f x x ′ ≤ ′′ ∈ 。 【证】∀a ∈[0,1]， 将 f (x) 在 x = a 处展开为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 f x = f a + f ′(a) x − a + f ′′ ξ x − a （ξ 在 a, x 之间） 分别令 x =1和 x = 0得到 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 2 1 0 = f 1 = f a + f ′(a) 1− a + f ′′ ξ − a 其中 ( ,1) 1 ξ ∈ a ， ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 0 = f 0 = f a + f ′(a) − a + f ′′ ξ a 其中 (0, ) 2 ξ ∈ a ，两式相减并移项整理 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 f ′(a) = − f ′′ ξ − a − f ′′ ξ a ， 当 a = 0 或 a =1时， ( ) 1 2 1 f ′(a) = f ′′ ξ 或 ( ) 2 2 1 f ′(a) = f ′′ ξ ，原不等式的等号成 立。 当 a ∈ (0,1) 时，由三角不等式得到 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 f ′(a) ≤ f ′′ ξ − a + f ′′ ξ a 令 { } ( ) ( ) 1 2 f ′′(ξ ) = max f ′′ ξ , f ′′ ξ ， 其中ξ ∈(0,1) 。因此 f ′ a ≤ f ′′( ) ξ ( ) ( ) − a + a ≤ f ′′( ) ξ 2 1 1 2 1 ( ) 2 2 max{ ( )} 2 1 [0,1] f x x ≤ ′′ ∈ 。 再由 a 是[0,1]上任意一点，所以 max{ ( )} 2 1 ( ) [0,1] f x f x x ′ ≤ ′′ ∈ 。 例 4.44 设 δ > 0, f (x) 在区间 (−δ ,δ ) 内有定义, 若当 x ∈ (−δ ,δ ) 时 , 恒有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805