(H00-E0)v2)=-(H-En)v)+En2y 现在v已经求出,代入方程中得 (Bo-Eyv2=∑' roro, H'vm A0)+E(2 仍然把v(2)展开为{vn0}的线性组合,然后在方程两端乘以v0并且积分,左方再一次=0,右方第 二项也=0,剩下的部分给出了二级微扰能 E(2)= ∫vor 其中注意Hm=(Hm),因为H是 Hermitian算符。二级微扰波函数的导出与前面的做法是类似的 这里不再细说 例子:在静电场中的一维谐振子。 假设一维谐振子还带有电荷q,并处在外加恒定电场E(沿X轴正向)中,那么哈密顿量是 H=H(O)+H' 其中 H 2u dx ex 级微扰能是 EO=H x=0, 这是因为v0(x)总是偶函数。所以要再求二级微扰能。先要计算 x E 这个计算可以借助于阶梯算符来完成。由于 (a+a) 21 所以 (2+21+:(mm+如+m mn=-qE( 由此得到二级微扰能为 E2=2'EiO-EMO) E(O) -,+ E(o) -Eo 2Ho ho-ho n-1,n q2H nn+ 注意,这个微扰能与n无关。所以扰动以后的能级是(准确到二级微扰)3 (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n     现在 (1)  n 已经求出，代入方程中得 (0) (0) (2) (0) (1) (0) (2) (0) (0) (0) (0) (0) ˆ ˆ ( ) . mn mn n n m n m n n m m n m n m H H H E H E E E E E E       − = − + +  − −     仍然把 (2)  n 展开为 (0) { }  n 的线性组合，然后在方程两端乘以 (0)*  n 并且积分，左方再一次 = 0 ，右方第 二项也 = 0 ，剩下的部分给出了二级微扰能： (2) (0) (0) (0) (0) (0) (0) mn mn nm ˆ n n m m m n m n m H H H E H d E E E E        = =  − −      2 (0) (0) , mn m n m H E E  = −  其中注意 ( ) H H nm mn    = ，因为 H  ˆ 是 Hermitian 算符。二级微扰波函数的导出与前面的做法是类似的， 这里不再细说。 例子：在静电场中的一维谐振子。 假设一维谐振子还带有电荷 q ，并处在外加恒定电场  （沿 X 轴正向）中，那么哈密顿量是 , ˆ ˆ ˆ (0) H = H + H 其中 , 2 1 2 ˆ 2 2 2 2 2 (0) x dx d H   = − +  ˆ H q x  = −  . 一级微扰能是 (1) (0) (0) 0, E H q x dx n nn n n    = = −  =   这是因为 (0) 2 | (x)| n 总是偶函数。所以要再求二级微扰能。先要计算 (0) (0) (0) (0) . H q x dx q x mn m n m n       = −  = −   这个计算可以借助于阶梯算符来完成。由于 (0) (0) 1 ˆ 1 , n n a n   + = + + (0) (0) 1 ˆ , n n a n   = − 而 ˆ ( ), ˆ ˆ 2 x a a m + = + 所以 (0) (0) (0) (0) , 1 , 1 ( ) ( 1 ), ˆ ˆ 2 2 m n m n m n m n x a a n n m m         + = + = + + − + , 1 , 1 ( 1 ). 2 H q n n mn m n m n    − +  = −  + + 由此得到二级微扰能为 2 2 2 2 2 1, 1, (2) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 1 1 2 mn n n n n n m n m n n n n H H H q n n E E E E E E E    − + − +     +   = = + = +   − − −   −  . 2 2 2 2   = − q 注意，这个微扰能与 n 无关。所以扰动以后的能级是（准确到二级微扰）